次の2つの関数について、与えられた定義域における最大値と最小値を求める問題です。 (1) $y = x^2 + 2x$ ($-2 < x < 1$) (2) $y = -2x^2 + 3x + 1$ ($0 < x \le 2$)

1. 問題の内容

次の2つの関数について、与えられた定義域における最大値と最小値を求める問題です。

(1) $y = x^2 + 2x$ ($-2 < x < 1$)

(2) $y = -2x^2 + 3x + 1$ ($0 < x \le 2$)

2. 解き方の手順

(1) $y = x^2 + 2x$ について

まず、平方完成を行います。

$y = (x+1)^2 - 1$

これは下に凸の放物線で、頂点は $(-1, -1)$ です。定義域は $-2 < x < 1$ です。

$x = -1$ のとき、$y = -1$ です。

$x = -2$ に近づくとき、$y$ は $(-2+1)^2 - 1 = 0$ に近づきます。

$x = 1$ に近づくとき、$y$ は $(1+1)^2 - 1 = 3$ に近づきます。

したがって、最小値は $x = -1$ のとき $y = -1$ です。しかし、最大値は定義域の端点が含まれないため、存在しません。

(2) $y = -2x^2 + 3x + 1$ について

まず、平方完成を行います。

$y = -2(x^2 - \frac{3}{2}x) + 1 = -2(x - \frac{3}{4})^2 + 2(\frac{9}{16}) + 1 = -2(x - \frac{3}{4})^2 + \frac{9}{8} + 1 = -2(x - \frac{3}{4})^2 + \frac{17}{8}$

これは上に凸の放物線で、頂点は $(\frac{3}{4}, \frac{17}{8})$ です。定義域は $0 < x \le 2$ です。

$x = \frac{3}{4}$ のとき、$y = \frac{17}{8}$ です。

$x = 2$ のとき、$y = -2(2)^2 + 3(2) + 1 = -8 + 6 + 1 = -1$ です。

$x = 0$ に近づくとき、$y$ は $1$ に近づきます。

したがって、最大値は $x = \frac{3}{4}$ のとき $y = \frac{17}{8}$ です。最小値は $x = 2$ のとき $y = -1$ です。

3. 最終的な答え

(1) 最小値: $x = -1$ のとき $-1$、最大値: なし

(2) 最大値: $x = \frac{3}{4}$ のとき $\frac{17}{8}$、最小値: $x = 2$ のとき $-1$