3次方程式 $x^3 + 2x^2 - 3x - 1 = 0$ が、区間 $(1, 2)$ に実数解をただ一つ持つことを示す。

1. 問題の内容

3次方程式 $x^3 + 2x^2 - 3x - 1 = 0$ が、区間 $(1, 2)$ に実数解をただ一つ持つことを示す。

2. 解き方の手順

まず、関数 $f(x) = x^3 + 2x^2 - 3x - 1$ を定義する。

中間値の定理を利用して、区間 $(1, 2)$ に少なくとも1つの実数解が存在することを示す。

$f(1)$ と $f(2)$ の符号を調べる。

$f(1) = 1^3 + 2(1^2) - 3(1) - 1 = 1 + 2 - 3 - 1 = -1$

$f(2) = 2^3 + 2(2^2) - 3(2) - 1 = 8 + 8 - 6 - 1 = 9$

$f(1) < 0$ であり、$f(2) > 0$ であるから、中間値の定理より、区間 $(1, 2)$ に少なくとも1つの実数解が存在する。

次に、$f(x)$ が区間 $(1, 2)$ で単調増加であることを示す。これを示すには、$f'(x)$ を計算し、それが区間 $(1, 2)$ で正であることを示せばよい。

$f'(x) = 3x^2 + 4x - 3$

$f'(x) = 0$ となる $x$ を求める。

$3x^2 + 4x - 3 = 0$

解の公式より、

$x = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4(3)(-3)}}{2(3)} = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 36}}{6} = \frac{-4 \pm \sqrt{52}}{6} = \frac{-4 \pm 2\sqrt{13}}{6} = \frac{-2 \pm \sqrt{13}}{3}$

$x_1 = \frac{-2 - \sqrt{13}}{3} \approx -1.87$

$x_2 = \frac{-2 + \sqrt{13}}{3} \approx 0.54$

$f'(x)$ は下に凸な二次関数なので、$x < x_1$ または $x > x_2$ で $f'(x) > 0$ である。

区間 $(1, 2)$ は $x > x_2$ の範囲に含まれるため、区間 $(1, 2)$ で $f'(x) > 0$ である。

したがって、$f(x)$ は区間 $(1, 2)$ で単調増加である。

単調増加で、$f(1) < 0$、$f(2) > 0$ であるから、区間 $(1, 2)$ で $f(x) = 0$ となる $x$ はただ一つ存在する。

3. 最終的な答え

3次方程式 $x^3 + 2x^2 - 3x - 1 = 0$ は、区間 $(1, 2)$ に実数解をただ一つ持つ。