与えられた2次式 $3x^2 + 5x + 2$ を因数分解せよ。

1. 問題の内容

与えられた2次式 $3x^2 + 5x + 2$ を因数分解せよ。

2. 解き方の手順

2次式 $ax^2 + bx + c$ の因数分解を考える。

今回は、$a = 3, b = 5, c = 2$ である。

因数分解の形を $(px + q)(rx + s)$ とすると、

$pr = a = 3$

$ps + qr = b = 5$

$qs = c = 2$

となる。

$pr = 3$ より、$p = 3, r = 1$ と仮定できる。

すると、$(3x + q)(x + s)$ となる。

次に、$qs = 2$ より、$(q, s) = (1, 2)$ または $(q, s) = (2, 1)$ と考えられる。

(i) $(q, s) = (1, 2)$ のとき、

$(3x + 1)(x + 2) = 3x^2 + 6x + x + 2 = 3x^2 + 7x + 2$

これは、$5x$ と一致しないので誤り。

(ii) $(q, s) = (2, 1)$ のとき、

$(3x + 2)(x + 1) = 3x^2 + 3x + 2x + 2 = 3x^2 + 5x + 2$

これは、$5x$ と一致するので正しい。

したがって、$3x^2 + 5x + 2 = (3x + 2)(x + 1)$ と因数分解できる。

3. 最終的な答え

$(3x + 2)(x + 1)$