与えられた式 $(a+2b)^2(a-2b)^2$ を展開して簡単にします。

1. 問題の内容

与えられた式 $(a+2b)^2(a-2b)^2$ を展開して簡単にします。

2. 解き方の手順

まず、$(a+2b)^2$ と $(a-2b)^2$ をそれぞれ展開します。

$(a+2b)^2 = a^2 + 4ab + 4b^2$

$(a-2b)^2 = a^2 - 4ab + 4b^2$

次に、これらの結果を掛け合わせます。

$(a^2 + 4ab + 4b^2)(a^2 - 4ab + 4b^2)$

ここで、$A = a^2 + 4b^2$ とおくと、$A + 4ab$ と $A - 4ab$ の積となります。

したがって、

$(A + 4ab)(A - 4ab) = A^2 - (4ab)^2$

$= (a^2 + 4b^2)^2 - 16a^2b^2$

$(a^2 + 4b^2)^2 = (a^2)^2 + 2(a^2)(4b^2) + (4b^2)^2$

$= a^4 + 8a^2b^2 + 16b^4$

したがって、

$(a^2 + 4b^2)^2 - 16a^2b^2 = a^4 + 8a^2b^2 + 16b^4 - 16a^2b^2$

$= a^4 - 8a^2b^2 + 16b^4$

また別の解き方として、

$(a+2b)(a-2b)=a^2-4b^2$

したがって、

$(a+2b)^2(a-2b)^2=((a+2b)(a-2b))^2=(a^2-4b^2)^2=(a^2)^2-2\cdot a^2\cdot 4b^2+(4b^2)^2=a^4-8a^2b^2+16b^4$

3. 最終的な答え

$a^4 - 8a^2b^2 + 16b^4$