与えられたベクトル $\vec{a} = \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \end{pmatrix}$, $\vec{b} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}$ に対して、ベクトル $\vec{c} = \vec{a} + t\vec{b}$ が定義される。以下の問いに答える。 (1) $|\vec{c}| = \sqrt{26}$ となるような $t$ の値を求める。 (2) $\vec{c} // \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix}$ となるような $t$ の値を求める。 (3) $|\vec{c}|$ を最小にする $t$ の値を求め、そのときの $|\vec{c}|$ の値を求める。 また、座標平面上の3点 $A(2, -3)$, $B(3, -2)$, $C(-1, 1)$ の位置ベクトルをそれぞれ $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$ とする。 (4) $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$ を成分表示する。 (5) $\vec{c}$ を $\vec{a}$ と $\vec{b}$ の1次結合（線形結合）で表す。

1. 問題の内容

与えられたベクトル $\vec{a} = \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \end{pmatrix}$, $\vec{b} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}$ に対して、ベクトル $\vec{c} = \vec{a} + t\vec{b}$ が定義される。以下の問いに答える。

(1) $|\vec{c}| = \sqrt{26}$ となるような $t$ の値を求める。

(2) $\vec{c} // \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix}$ となるような $t$ の値を求める。

(3) $|\vec{c}|$ を最小にする $t$ の値を求め、そのときの $|\vec{c}|$ の値を求める。

また、座標平面上の3点 $A(2, -3)$, $B(3, -2)$, $C(-1, 1)$ の位置ベクトルをそれぞれ $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$ とする。

(4) $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$ を成分表示する。

(5) $\vec{c}$ を $\vec{a}$ と $\vec{b}$ の1次結合（線形結合）で表す。

2. 解き方の手順

(1) $\vec{c} = \vec{a} + t\vec{b} = \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \end{pmatrix} + t\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2+t \\ -3+2t \end{pmatrix}$

$|\vec{c}| = \sqrt{(2+t)^2 + (-3+2t)^2} = \sqrt{4 + 4t + t^2 + 9 - 12t + 4t^2} = \sqrt{5t^2 - 8t + 13}$

$|\vec{c}| = \sqrt{26}$ より、

$\sqrt{5t^2 - 8t + 13} = \sqrt{26}$

$5t^2 - 8t + 13 = 26$

$5t^2 - 8t - 13 = 0$

$(5t - 13)(t + 1) = 0$

$t = \frac{13}{5}, -1$

(2) $\vec{c} // \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix}$ より、$\vec{c} = k\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix}$ となる実数 $k$ が存在する。

$\begin{pmatrix} 2+t \\ -3+2t \end{pmatrix} = k\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -k \\ k \end{pmatrix}$

$2+t = -k$

$-3+2t = k$

$2+t = -(-3+2t)$

$2+t = 3-2t$

$3t = 1$

$t = \frac{1}{3}$

(3) $|\vec{c}|^2 = 5t^2 - 8t + 13$

$|\vec{c}|^2 = 5(t^2 - \frac{8}{5}t) + 13 = 5(t^2 - \frac{8}{5}t + \frac{16}{25}) - 5\cdot \frac{16}{25} + 13 = 5(t - \frac{4}{5})^2 - \frac{16}{5} + \frac{65}{5} = 5(t - \frac{4}{5})^2 + \frac{49}{5}$

$t = \frac{4}{5}$ のとき、 $|\vec{c}|^2$ は最小値 $\frac{49}{5}$ をとる。

よって、$|\vec{c}| = \sqrt{\frac{49}{5}} = \frac{7}{\sqrt{5}} = \frac{7\sqrt{5}}{5}$

(4) $\vec{a} = \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \end{pmatrix}$, $\vec{b} = \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \end{pmatrix}$, $\vec{c} = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix}$

(5) $\vec{c} = s\vec{a} + u\vec{b}$ とすると、

$\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix} = s\begin{pmatrix} 2 \\ -3 \end{pmatrix} + u\begin{pmatrix} 3 \\ -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2s + 3u \\ -3s - 2u \end{pmatrix}$

$2s + 3u = -1$

$-3s - 2u = 1$

$6s + 9u = -3$

$-6s - 4u = 2$

$5u = -1$

$u = -\frac{1}{5}$

$2s + 3(-\frac{1}{5}) = -1$

$2s - \frac{3}{5} = -1$

$2s = -\frac{2}{5}$

$s = -\frac{1}{5}$

$\vec{c} = -\frac{1}{5}\vec{a} - \frac{1}{5}\vec{b}$

3. 最終的な答え

(1) $t = \frac{13}{5}, -1$

(2) $t = \frac{1}{3}$

(3) $t = \frac{4}{5}$, $|\vec{c}| = \frac{7\sqrt{5}}{5}$

(4) $\vec{a} = \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \end{pmatrix}$, $\vec{b} = \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \end{pmatrix}$, $\vec{c} = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix}$

(5) $\vec{c} = -\frac{1}{5}\vec{a} - \frac{1}{5}\vec{b}$