次の等式を満たす有理数「あ」、「い」、「う」、「え」、「お」を求めます。ただし、「あ」<「い」<「う」とします。 $\frac{\sqrt[3]{3}}{1+\sqrt[3]{2}}=\sqrt[3]{\boxed{あ}}+\sqrt[3]{\boxed{い}}+\sqrt[3]{\boxed{う}}=\sqrt[3]{\boxed{え}}+\sqrt[3]{\boxed{お}}$

1. 問題の内容

次の等式を満たす有理数「あ」、「い」、「う」、「え」、「お」を求めます。ただし、「あ」<「い」<「う」とします。

$\frac{\sqrt[3]{3}}{1+\sqrt[3]{2}}=\sqrt[3]{\boxed{あ}}+\sqrt[3]{\boxed{い}}+\sqrt[3]{\boxed{う}}=\sqrt[3]{\boxed{え}}+\sqrt[3]{\boxed{お}}$

2. 解き方の手順

まず、$\frac{\sqrt[3]{3}}{1+\sqrt[3]{2}}$の分母を有理化します。$a=\sqrt[3]{2}$とおくと、

$\frac{\sqrt[3]{3}}{1+a}$

となります。分母を有理化するために、$1-a+a^2$を分母と分子に掛けます。

$\frac{\sqrt[3]{3}(1-a+a^2)}{(1+a)(1-a+a^2)}=\frac{\sqrt[3]{3}(1-\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{4})}{1+2}=\frac{\sqrt[3]{3}-\sqrt[3]{6}+\sqrt[3]{12}}{3}=\frac{1}{3}\sqrt[3]{3}-\frac{1}{3}\sqrt[3]{6}+\frac{1}{3}\sqrt[3]{12}$

したがって、

$\frac{\sqrt[3]{3}}{1+\sqrt[3]{2}}=\sqrt[3]{\frac{3}{27}}+\sqrt[3]{\frac{6}{27}}+\sqrt[3]{\frac{12}{27}}=\sqrt[3]{\frac{1}{9}}-\sqrt[3]{\frac{2}{9}}+\sqrt[3]{\frac{4}{9}}$

$\sqrt[3]{\frac{1}{9}} = \sqrt[3]{\frac{3}{27}}$, $\sqrt[3]{\frac{2}{9}} = \sqrt[3]{\frac{6}{27}}$, $\sqrt[3]{\frac{4}{9}} = \sqrt[3]{\frac{12}{27}}$

であるから、あ、い、うに当てはまる数は小さい順に$-\frac{2}{9}$、$\frac{1}{9}$、$\frac{4}{9}$となります。

$\frac{1}{3}\sqrt[3]{3}-\frac{1}{3}\sqrt[3]{6}+\frac{1}{3}\sqrt[3]{12} = \sqrt[3]{\frac{3}{27}}-\sqrt[3]{\frac{6}{27}}+\sqrt[3]{\frac{12}{27}}$

$=\sqrt[3]{\frac{3}{27} + \frac{144}{729}} = \sqrt[3]{\frac{3}{27}} + \sqrt[3]{\frac{144}{729}} = \sqrt[3]{\frac{1}{9}} + \sqrt[3]{\frac{16}{81}}$

$\frac{144}{729} = \frac{16}{81}$なので、え、おに当てはまる数は$\frac{1}{9}$、$\frac{16}{81}$となります。

3. 最終的な答え

あ: $-\frac{2}{9}$

い: $\frac{1}{9}$

う: $\frac{4}{9}$

え: $\frac{1}{9}$

お: $\frac{16}{81}$