3次方程式 $x^3 - 3x^2 + 2ax - b + 4 = 0$ の2つの解が $1 \pm 2i$ であるとき、残りの解と定数 $a, b$ の値を求める。

1. 問題の内容

3次方程式 $x^3 - 3x^2 + 2ax - b + 4 = 0$ の2つの解が $1 \pm 2i$ であるとき、残りの解と定数 $a, b$ の値を求める。

2. 解き方の手順

複素数解の性質より、$1+2i$ が解ならば、$1-2i$ も解である。

3次方程式の解を $\alpha, 1+2i, 1-2i$ とすると、解と係数の関係より

(1) 解の和:

$\alpha + (1+2i) + (1-2i) = 3$

$\alpha + 2 = 3$

$\alpha = 1$

(2) 解の積の和:

$\alpha(1+2i) + \alpha(1-2i) + (1+2i)(1-2i) = 2a$

$(1+2i) + (1-2i) + (1^2 - (2i)^2) = 2a$

$2 + (1 - (-4)) = 2a$

$2 + 5 = 2a$

$7 = 2a$

$a = \frac{7}{2}$

(3) 解の積:

$\alpha(1+2i)(1-2i) = -(-b+4)$

$1 \cdot (1^2 - (2i)^2) = b - 4$

$1 \cdot (1 - (-4)) = b - 4$

$5 = b - 4$

$b = 9$

3. 最終的な答え

他の解は 1 であり、 $a = \frac{7}{2}$ 、 $b = 9$ である。