与えられた式 $(a^{\frac{1}{2}} + a^{-\frac{1}{2}})^2$ を展開して簡単にします。

1. 問題の内容

与えられた式 $(a^{\frac{1}{2}} + a^{-\frac{1}{2}})^2$ を展開して簡単にします。

2. 解き方の手順

与えられた式を展開します。

$(a^{\frac{1}{2}} + a^{-\frac{1}{2}})^2 = (a^{\frac{1}{2}})^2 + 2(a^{\frac{1}{2}})(a^{-\frac{1}{2}}) + (a^{-\frac{1}{2}})^2$

指数の法則 $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ と $(a^m)^n = a^{mn}$ を使って、式を簡略化します。

$(a^{\frac{1}{2}})^2 = a^{\frac{1}{2} \cdot 2} = a^1 = a$

$a^{\frac{1}{2}} \cdot a^{-\frac{1}{2}} = a^{\frac{1}{2} + (-\frac{1}{2})} = a^0 = 1$

$(a^{-\frac{1}{2}})^2 = a^{-\frac{1}{2} \cdot 2} = a^{-1} = \frac{1}{a}$

したがって、

$(a^{\frac{1}{2}} + a^{-\frac{1}{2}})^2 = a + 2(1) + \frac{1}{a} = a + 2 + \frac{1}{a}$

3. 最終的な答え

$a + 2 + \frac{1}{a}$