ベクトル $\vec{a} = (3, -1)$ と $\vec{b} = (7-2x, -5+x)$ について、以下の問いに答えます。 (1) $\vec{a}$ と $\vec{b}$ が平行になるように、$x$ の値を定めます。 (2) $\vec{a}$ と $\vec{b}$ が垂直になるように、$x$ の値を定めます。

1. 問題の内容

ベクトル $\vec{a} = (3, -1)$ と $\vec{b} = (7-2x, -5+x)$ について、以下の問いに答えます。

(1) $\vec{a}$ と $\vec{b}$ が平行になるように、$x$ の値を定めます。

(2) $\vec{a}$ と $\vec{b}$ が垂直になるように、$x$ の値を定めます。

2. 解き方の手順

(1) $\vec{a}$ と $\vec{b}$ が平行であるとき、$\vec{b} = k\vec{a}$ となる実数 $k$ が存在します。つまり、

$(7-2x, -5+x) = k(3, -1) = (3k, -k)$

したがって、以下の連立方程式が成り立ちます。

$7-2x = 3k$

$-5+x = -k$

2つ目の式より、$k=5-x$。これを1つ目の式に代入すると、

$7-2x = 3(5-x)$

$7-2x = 15-3x$

$x = 8$

(2) $\vec{a}$ と $\vec{b}$ が垂直であるとき、$\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ となります。つまり、

$(3, -1) \cdot (7-2x, -5+x) = 0$

$3(7-2x) + (-1)(-5+x) = 0$

$21 - 6x + 5 - x = 0$

$26 - 7x = 0$

$7x = 26$

$x = \frac{26}{7}$

3. 最終的な答え

(1) $\vec{a}$ と $\vec{b}$ が平行になる時の $x$ の値は $x = 8$。

(2) $\vec{a}$ と $\vec{b}$ が垂直になる時の $x$ の値は $x = \frac{26}{7}$。