問題は2つの命題について、逆、対偶を述べ、それぞれの真偽を判定することです。 (1) $x$ は実数であるとき、$x > 2 \implies x^2 > 4$ (2) $n$ は自然数であるとき、$n$ は偶数 $\implies$ $n$ は6の倍数

1. 問題の内容

問題は2つの命題について、逆、対偶を述べ、それぞれの真偽を判定することです。

(1) $x$ は実数であるとき、$x > 2 \implies x^2 > 4$

(2) $n$ は自然数であるとき、$n$ は偶数 $\implies$ $n$ は6の倍数

2. 解き方の手順

(1)

元の命題: $x > 2 \implies x^2 > 4$

逆: $x^2 > 4 \implies x > 2$

対偶: $x^2 \leq 4 \implies x \leq 2$

元の命題の真偽: $x > 2$ ならば必ず $x^2 > 4$ なので真。

逆の真偽: $x^2 > 4$ より $x > 2$ または $x < -2$ なので偽。($x=-3$は反例)

対偶の真偽: 対偶は元の命題と真偽が一致するので真。

(2)

元の命題: $n$ は偶数 $\implies$ $n$ は6の倍数

逆: $n$ は6の倍数 $\implies$ $n$ は偶数

対偶: $n$ は6の倍数でない $\implies$ $n$ は偶数でない (つまり$n$は奇数)

元の命題の真偽: $n=2$ は偶数だが6の倍数ではないので偽。(反例)

逆の真偽: $n$ が6の倍数ならば、必ず偶数なので真。

対偶の真偽: 対偶は元の命題と真偽が一致するので偽。

3. 最終的な答え

(1)

元の命題: $x > 2 \implies x^2 > 4$ (真)

逆: $x^2 > 4 \implies x > 2$ (偽)

対偶: $x^2 \leq 4 \implies x \leq 2$ (真)

(2)

元の命題: $n$ は偶数 $\implies$ $n$ は6の倍数 (偽)

逆: $n$ は6の倍数 $\implies$ $n$ は偶数 (真)

対偶: $n$ は6の倍数でない $\implies$ $n$ は奇数 (偽)