問題8と問題9について、以下の計算問題を解きます。 問題8 (1) $26^2 - 14^2$ (2) $78^2 - 22^2$ (3) $49^2$ (4) $57 \times 63$ 問題9 $x = 15, y = 4$ のとき、 (1) $x^2 - 10xy + 25y^2$ (2) $(x+y)(x+4y) - (x+2y)^2$

1. 問題の内容

問題8と問題9について、以下の計算問題を解きます。

問題8

(1) $26^2 - 14^2$

(2) $78^2 - 22^2$

(3) $49^2$

(4) $57 \times 63$

問題9

$x = 15, y = 4$ のとき、

(1) $x^2 - 10xy + 25y^2$

(2) $(x+y)(x+4y) - (x+2y)^2$

2. 解き方の手順

問題8

(1) $26^2 - 14^2$ は、$a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$ の因数分解を利用します。

$26^2 - 14^2 = (26+14)(26-14) = 40 \times 12 = 480$

(2) $78^2 - 22^2$ も同様に、$a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$ の因数分解を利用します。

$78^2 - 22^2 = (78+22)(78-22) = 100 \times 56 = 5600$

(3) $49^2$ はそのまま計算します。

$49^2 = 49 \times 49 = 2401$

(4) $57 \times 63$ は、$60-3$と$60+3$と見て$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$を利用する。

$57 \times 63 = (60-3)(60+3) = 60^2 - 3^2 = 3600 - 9 = 3591$

問題9

$x = 15, y = 4$ を代入して計算します。

(1) $x^2 - 10xy + 25y^2 = (x-5y)^2$ と因数分解できます。

$x - 5y = 15 - 5 \times 4 = 15 - 20 = -5$

$(x-5y)^2 = (-5)^2 = 25$

よって、$x^2 - 10xy + 25y^2 = 25$

(2) $(x+y)(x+4y) - (x+2y)^2$ を展開して整理します。

$(x+y)(x+4y) = x^2 + 4xy + xy + 4y^2 = x^2 + 5xy + 4y^2$

$(x+2y)^2 = x^2 + 4xy + 4y^2$

$(x+y)(x+4y) - (x+2y)^2 = (x^2 + 5xy + 4y^2) - (x^2 + 4xy + 4y^2) = x^2 + 5xy + 4y^2 - x^2 - 4xy - 4y^2 = xy$

$x = 15, y = 4$ を代入すると、$xy = 15 \times 4 = 60$

3. 最終的な答え

問題8

(1) 480

(2) 5600

(3) 2401

(4) 3591

問題9

(1) 25

(2) 60