(1) ベクトル $\vec{a}$ の絶対値が1、ベクトル $\vec{b}$ の絶対値が2、$\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角が120°であるとき、内積 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ を求める。 (2) ベクトル $\vec{a} = (3, 1)$、ベクトル $\vec{b} = (-2, 1)$ の内積 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ および $\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角 $\theta$ を求める。

1. 問題の内容

(1) ベクトル $\vec{a}$ の絶対値が1、ベクトル $\vec{b}$ の絶対値が2、$\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角が120°であるとき、内積 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ を求める。

(2) ベクトル $\vec{a} = (3, 1)$、ベクトル $\vec{b} = (-2, 1)$ の内積 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ および $\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角 $\theta$ を求める。

2. 解き方の手順

(1) 内積の定義より、

$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos \theta$

ここで、$|\vec{a}| = 1$, $|\vec{b}| = 2$, $\theta = 120^\circ$ であるから、

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 1 \cdot 2 \cdot \cos 120^\circ = 2 \cdot (-\frac{1}{2}) = -1$

(2)

内積は成分を用いて、

$\vec{a} \cdot \vec{b} = (3)(-2) + (1)(1) = -6 + 1 = -5$

また、$|\vec{a}| = \sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{10}$, $|\vec{b}| = \sqrt{(-2)^2 + 1^2} = \sqrt{5}$

内積の定義より、

$\cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|} = \frac{-5}{\sqrt{10} \sqrt{5}} = \frac{-5}{\sqrt{50}} = \frac{-5}{5\sqrt{2}} = -\frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

したがって、$\theta = 135^\circ$

3. 最終的な答え

(1) $\vec{a} \cdot \vec{b} = -1$

(2) $\vec{a} \cdot \vec{b} = -5$, $\theta = 135^\circ$