$x + \frac{1}{x} = \sqrt{2} + 1$のとき、$x^2 + \frac{1}{x^2}$の値を求めよ。

1. 問題の内容

$x + \frac{1}{x} = \sqrt{2} + 1$のとき、$x^2 + \frac{1}{x^2}$の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$x + \frac{1}{x} = \sqrt{2} + 1$ の両辺を2乗します。

$(x + \frac{1}{x})^2 = (\sqrt{2} + 1)^2$

$x^2 + 2(x)(\frac{1}{x}) + \frac{1}{x^2} = (\sqrt{2})^2 + 2(\sqrt{2})(1) + 1^2$

$x^2 + 2 + \frac{1}{x^2} = 2 + 2\sqrt{2} + 1$

$x^2 + 2 + \frac{1}{x^2} = 3 + 2\sqrt{2}$

次に、$x^2 + \frac{1}{x^2}$ の値を求めるために、両辺から2を引きます。

$x^2 + \frac{1}{x^2} = 3 + 2\sqrt{2} - 2$

$x^2 + \frac{1}{x^2} = 1 + 2\sqrt{2}$

3. 最終的な答え

$1 + 2\sqrt{2}$