与えられた2つの連立方程式を、それぞれ逆行列を用いて解きます。 (1) $3x + 2y = 0$ $x - 2y = 8$ (2) $x + y = -3$ $2x - y = 6$

1. 問題の内容

与えられた2つの連立方程式を、それぞれ逆行列を用いて解きます。

(1)

$3x + 2y = 0$

$x - 2y = 8$

(2)

$x + y = -3$

$2x - y = 6$

2. 解き方の手順

(1) 連立方程式を行列で表現します。

$\begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 1 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 8 \end{pmatrix}$

係数行列を $A$ とすると、$A = \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 1 & -2 \end{pmatrix}$です。

$A$ の行列式は、$\det(A) = (3 \times -2) - (2 \times 1) = -6 - 2 = -8$

逆行列 $A^{-1}$ は、

$A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \begin{pmatrix} -2 & -2 \\ -1 & 3 \end{pmatrix} = \frac{1}{-8} \begin{pmatrix} -2 & -2 \\ -1 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{4} & \frac{1}{4} \\ \frac{1}{8} & -\frac{3}{8} \end{pmatrix}$

解は、$\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = A^{-1} \begin{pmatrix} 0 \\ 8 \end{pmatrix}$より、

$\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{4} & \frac{1}{4} \\ \frac{1}{8} & -\frac{3}{8} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (\frac{1}{4} \times 0) + (\frac{1}{4} \times 8) \\ (\frac{1}{8} \times 0) + (-\frac{3}{8} \times 8) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \end{pmatrix}$

(2) 連立方程式を行列で表現します。

$\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\ 6 \end{pmatrix}$

係数行列を $A$ とすると、$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & -1 \end{pmatrix}$です。

$A$ の行列式は、$\det(A) = (1 \times -1) - (1 \times 2) = -1 - 2 = -3$

逆行列 $A^{-1}$ は、

$A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \begin{pmatrix} -1 & -1 \\ -2 & 1 \end{pmatrix} = \frac{1}{-3} \begin{pmatrix} -1 & -1 \\ -2 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{3} & \frac{1}{3} \\ \frac{2}{3} & -\frac{1}{3} \end{pmatrix}$

解は、$\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = A^{-1} \begin{pmatrix} -3 \\ 6 \end{pmatrix}$より、

$\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{3} & \frac{1}{3} \\ \frac{2}{3} & -\frac{1}{3} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -3 \\ 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (\frac{1}{3} \times -3) + (\frac{1}{3} \times 6) \\ (\frac{2}{3} \times -3) + (-\frac{1}{3} \times 6) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 + 2 \\ -2 - 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ -4 \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

(1) $x = 2, y = -3$

(2) $x = 1, y = -4$