3次方程式 $x^3 - 6x^2 + ax - 6 = 0$ が $x=1$ を解にもつとき、$a$ の値を求め、残りの解を求めよ。

1. 問題の内容

3次方程式 $x^3 - 6x^2 + ax - 6 = 0$ が $x=1$ を解にもつとき、$a$ の値を求め、残りの解を求めよ。

2. 解き方の手順

ステップ1：$x=1$ が解であることから、$x=1$ を方程式に代入して $a$ の値を求める。

$1^3 - 6(1)^2 + a(1) - 6 = 0$

$1 - 6 + a - 6 = 0$

$a - 11 = 0$

$a = 11$

ステップ2：$a=11$ を方程式に代入し、因数分解を行う。

$x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = 0$

$x=1$ が解であるから、$(x-1)$ を因数に持つ。組み立て除法または筆算により、$x^3 - 6x^2 + 11x - 6$ を $(x-1)$ で割る。

$\begin{array}{c|cccc}

1 & 1 & -6 & 11 & -6 \\

& & 1 & -5 & 6 \\

\hline

& 1 & -5 & 6 & 0

\end{array}$

$x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = (x-1)(x^2 - 5x + 6)$

ステップ3：2次方程式 $x^2 - 5x + 6 = 0$ を解く。

$x^2 - 5x + 6 = 0$

$(x-2)(x-3) = 0$

$x=2, 3$

3. 最終的な答え

$a = 11$

残りの解は $x = 2, 3$ である。