与えられた式 $a^3 + 6ab - 8b^3 + 1$ を因数分解します。

1. 問題の内容

与えられた式 $a^3 + 6ab - 8b^3 + 1$ を因数分解します。

2. 解き方の手順

まず、式を並び替えて、立方和の形を意識します。

$a^3 - 8b^3 + 1 + 6ab$

$a^3 + (-2b)^3 + 1^3 - 3 \cdot a \cdot (-2b) \cdot 1$

ここで、$x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz = (x+y+z)(x^2+y^2+z^2 -xy -yz -zx)$という公式を利用します。

$x = a, y = -2b, z = 1$ とすると、

$(a-2b+1)(a^2 + (-2b)^2 + 1^2 - a(-2b) - (-2b)(1) - (1)(a))$

$(a-2b+1)(a^2 + 4b^2 + 1 + 2ab + 2b - a)$

$(a-2b+1)(a^2 + 4b^2 + 2ab -a + 2b + 1)$

3. 最終的な答え

$(a-2b+1)(a^2 + 4b^2 + 2ab -a + 2b + 1)$