与えられた3つの連立一次方程式について、解が存在するかどうかを調べ、存在する場合はその解を求め、存在しない場合は「存在しない」と答えます。 (1) $x - y + 2z = 3$ $2x + 2y - 3z = 1$ $3x + y - z = 5$ (2) $x - y + 2z = 3$ $2x + 2y - 3z = 1$ $3x + y - z = 4$ (3) $x + y + 3z - w = 1$ $3x + 2y + z + w = 2$ $x - y - 2z + 4w = 3$ $2x + 3y - z + 3w = 0$

1. 問題の内容

与えられた3つの連立一次方程式について、解が存在するかどうかを調べ、存在する場合はその解を求め、存在しない場合は「存在しない」と答えます。

(1)

$x - y + 2z = 3$

$2x + 2y - 3z = 1$

$3x + y - z = 5$

(2)

$x - y + 2z = 3$

$2x + 2y - 3z = 1$

$3x + y - z = 4$

(3)

$x + y + 3z - w = 1$

$3x + 2y + z + w = 2$

$x - y - 2z + 4w = 3$

$2x + 3y - z + 3w = 0$

2. 解き方の手順

(1) 拡大係数行列を作り、行基本変形を行います。

$\begin{pmatrix} 1 & -1 & 2 & 3 \\ 2 & 2 & -3 & 1 \\ 3 & 1 & -1 & 5 \end{pmatrix} \xrightarrow{R_2 - 2R_1, R_3 - 3R_1} \begin{pmatrix} 1 & -1 & 2 & 3 \\ 0 & 4 & -7 & -5 \\ 0 & 4 & -7 & -4 \end{pmatrix} \xrightarrow{R_3 - R_2} \begin{pmatrix} 1 & -1 & 2 & 3 \\ 0 & 4 & -7 & -5 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

最後の行は $0x + 0y + 0z = 1$ を表しており、これは矛盾しているので、解は存在しません。

(2) 拡大係数行列を作り、行基本変形を行います。

$\begin{pmatrix} 1 & -1 & 2 & 3 \\ 2 & 2 & -3 & 1 \\ 3 & 1 & -1 & 4 \end{pmatrix} \xrightarrow{R_2 - 2R_1, R_3 - 3R_1} \begin{pmatrix} 1 & -1 & 2 & 3 \\ 0 & 4 & -7 & -5 \\ 0 & 4 & -7 & -5 \end{pmatrix} \xrightarrow{R_3 - R_2} \begin{pmatrix} 1 & -1 & 2 & 3 \\ 0 & 4 & -7 & -5 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

最後の行がすべて0なので、解は存在します。

$4y - 7z = -5$ より $y = \frac{7z - 5}{4}$

$x = y - 2z + 3 = \frac{7z - 5}{4} - 2z + 3 = \frac{7z - 5 - 8z + 12}{4} = \frac{-z + 7}{4}$

よって、解は $x = \frac{-z + 7}{4}$, $y = \frac{7z - 5}{4}$ ($z$ は任意)。

(3) 拡大係数行列を作り、行基本変形を行います。

$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 3 & -1 & 1 \\ 3 & 2 & 1 & 1 & 2 \\ 1 & -1 & -2 & 4 & 3 \\ 2 & 3 & -1 & 3 & 0 \end{pmatrix} \xrightarrow{R_2-3R_1, R_3-R_1, R_4-2R_1} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 3 & -1 & 1 \\ 0 & -1 & -8 & 4 & -1 \\ 0 & -2 & -5 & 5 & 2 \\ 0 & 1 & -7 & 5 & -2 \end{pmatrix}$

$\xrightarrow{R_2 \times -1} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 3 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 8 & -4 & 1 \\ 0 & -2 & -5 & 5 & 2 \\ 0 & 1 & -7 & 5 & -2 \end{pmatrix} \xrightarrow{R_3+2R_2, R_4-R_2} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 3 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 8 & -4 & 1 \\ 0 & 0 & 11 & -3 & 4 \\ 0 & 0 & -15 & 9 & -3 \end{pmatrix}$

$\xrightarrow{R_4 \times 11, R_3 \times 15} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 3 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 8 & -4 & 1 \\ 0 & 0 & 165 & -45 & 60 \\ 0 & 0 & -165 & 99 & -33 \end{pmatrix} \xrightarrow{R_4+R_3} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 3 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 8 & -4 & 1 \\ 0 & 0 & 165 & -45 & 60 \\ 0 & 0 & 0 & 54 & 27 \end{pmatrix}$

解が存在する。

$54w = 27$ より $w = \frac{1}{2}$

$165z - 45w = 60$ より $165z = 60 + 45 \times \frac{1}{2} = 60 + \frac{45}{2} = \frac{165}{2}$ よって $z = \frac{1}{2}$

$y + 8z - 4w = 1$ より $y = 1 - 8z + 4w = 1 - 8 \times \frac{1}{2} + 4 \times \frac{1}{2} = 1 - 4 + 2 = -1$

$x + y + 3z - w = 1$ より $x = 1 - y - 3z + w = 1 - (-1) - 3 \times \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 2 - \frac{3}{2} + \frac{1}{2} = 2 - 1 = 1$

よって、解は $x = 1$, $y = -1$, $z = \frac{1}{2}$, $w = \frac{1}{2}$。

3. 最終的な答え

(1) 存在しない

(2) $x = \frac{-z + 7}{4}$, $y = \frac{7z - 5}{4}$ ($z$ は任意)

(3) $x = 1$, $y = -1$, $z = \frac{1}{2}$, $w = \frac{1}{2}$