2次関数 $y = 2x^2 + kx + k - 2$ （$k$は定数）のグラフが$x$軸と接するとき、$k$の値と接点の$x$座標を求めよ。

はい、承知いたしました。画像の問題を解いていきます。

**問3**

1. 問題の内容

2次関数 $y = 2x^2 + kx + k - 2$ （$k$は定数）のグラフが$x$軸と接するとき、$k$の値と接点の$x$座標を求めよ。

2. 解き方の手順

2次関数のグラフが$x$軸と接するということは、2次方程式 $2x^2 + kx + k - 2 = 0$ が重解を持つということです。したがって、判別式 $D$ が $D = 0$ となる条件から、$k$の値を求めます。その後、得られた$k$の値を元の2次方程式に代入し、重解（接点の$x$座標）を求めます。

判別式 $D$は、

$D = k^2 - 4 \cdot 2 \cdot (k - 2) = k^2 - 8k + 16$

$D = 0$ より、

$k^2 - 8k + 16 = 0$

$(k - 4)^2 = 0$

$k = 4$

$k = 4$ を $2x^2 + kx + k - 2 = 0$ に代入すると、

$2x^2 + 4x + 4 - 2 = 0$

$2x^2 + 4x + 2 = 0$

$x^2 + 2x + 1 = 0$

$(x + 1)^2 = 0$

$x = -1$

3. 最終的な答え

$k = 4$, 接点のx座標は $-1$

**問4(1)**

1. 問題の内容

2次関数 $y = x^2 - 2ax + a^2 + 4a - 12$ （$a$は定数）のグラフが$x$軸と異なる2点で交わるとき、$a$のとり得る値の範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

2次関数のグラフが$x$軸と異なる2点で交わるということは、2次方程式 $x^2 - 2ax + a^2 + 4a - 12 = 0$ が異なる2つの実数解を持つということです。したがって、判別式 $D$ が $D > 0$ となる条件から、$a$の範囲を求めます。

判別式 $D$は、

$D = (-2a)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (a^2 + 4a - 12) = 4a^2 - 4a^2 - 16a + 48 = -16a + 48$

$D > 0$ より、

$-16a + 48 > 0$

$-16a > -48$

$a < 3$

3. 最終的な答え

$a < 3$

**問4(2)**

1. 問題の内容

2次関数 $y = x^2 - 2ax + a^2 + 4a - 12$ のグラフと$x$軸の2より小さい部分が異なる2点で交わるとき、$a$のとり得る値の範囲を求めなさい。

2. 解き方の手順

以下の3つの条件を満たす$a$の範囲を求める。

(1) $x$軸と異なる2点で交わる。

(2) 軸が $x = 2$ より左側にある。

(3) $x = 2$ のとき、$y > 0$ となる。

(1)より、$a < 3$。

軸は $x = -(-2a)/2 = a$ であるから、軸が $x = 2$ より左側にある条件は、$a < 2$。

$x = 2$ のとき、$y > 0$ より、

$2^2 - 2a \cdot 2 + a^2 + 4a - 12 > 0$

$4 - 4a + a^2 + 4a - 12 > 0$

$a^2 - 8 > 0$

$(a - 2\sqrt{2})(a + 2\sqrt{2}) > 0$

$a < -2\sqrt{2}$ または $a > 2\sqrt{2}$

$a < 3$, $a < 2$, $a < -2\sqrt{2}$ または $a > 2\sqrt{2}$を満たす$a$の範囲を求めると、

$a < -2\sqrt{2}$ または $2\sqrt{2} < a < 2$

3. 最終的な答え

$a < -2\sqrt{2}$ または $2\sqrt{2} < a < 2$