放物線 $y = -2x^2 + x + 1$ を $x$ 軸方向に $-3$, $y$ 軸方向に $1$ だけ平行移動した放物線の方程式を求めよ。

1. 問題の内容

放物線 $y = -2x^2 + x + 1$ を $x$ 軸方向に $-3$, $y$ 軸方向に $1$ だけ平行移動した放物線の方程式を求めよ。

2. 解き方の手順

平行移動の公式を用いる。一般に、関数 $y = f(x)$ を $x$ 軸方向に $p$, $y$ 軸方向に $q$ だけ平行移動したグラフの方程式は $y - q = f(x - p)$ で表される。

ここでは、$f(x) = -2x^2 + x + 1$, $p = -3$, $q = 1$ である。

したがって、$x$ を $x - (-3) = x + 3$ で置き換え、$y$ を $y - 1$ で置き換える。

つまり、

$$y - 1 = -2(x + 3)^2 + (x + 3) + 1$$

これを整理する。

まず、$(x + 3)^2 = x^2 + 6x + 9$ である。

したがって、

$$y - 1 = -2(x^2 + 6x + 9) + x + 3 + 1$$

$$y - 1 = -2x^2 - 12x - 18 + x + 4$$

$$y - 1 = -2x^2 - 11x - 14$$

$$y = -2x^2 - 11x - 13$$

3. 最終的な答え

$y = -2x^2 - 11x - 13$