与えられた2つの問題を解きます。 1つ目の問題は $6x^2 - xy - 2y^2 - 7x + 7y - 3$ を因数分解することです。 2つ目の問題は $(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)$ を展開することです。

1. 問題の内容

与えられた2つの問題を解きます。

1つ目の問題は $6x^2 - xy - 2y^2 - 7x + 7y - 3$ を因数分解することです。

2つ目の問題は $(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)$ を展開することです。

2. 解き方の手順

(1) $6x^2 - xy - 2y^2 - 7x + 7y - 3$ の因数分解

まず、与えられた式を $x$ について整理します。

$6x^2 - (y+7)x - 2y^2 + 7y - 3$

次に、定数項 $-2y^2 + 7y - 3$ を因数分解します。

$-2y^2 + 7y - 3 = -(2y - 1)(y - 3)$

したがって、$6x^2 - (y+7)x - (2y-1)(y-3)$ を因数分解します。

$(2x - (y-3))(3x + (2y - 1)) = (2x - y + 3)(3x + 2y - 1)$

したがって、$6x^2 - xy - 2y^2 - 7x + 7y - 3 = (2x - y + 3)(3x + 2y - 1)$

(2) $(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)$ の展開

与えられた式は、次のように変形できます。

$((b+c)+a)((b+c)-a)(a+(b-c))(a-(b-c))$

ここで、和と差の積の公式 $(A+B)(A-B) = A^2 - B^2$ を利用します。

$((b+c)^2 - a^2)(a^2 - (b-c)^2) = (b^2 + 2bc + c^2 - a^2)(a^2 - (b^2 - 2bc + c^2)) = (b^2 + 2bc + c^2 - a^2)(a^2 - b^2 + 2bc - c^2)$

$(b^2 + 2bc + c^2 - a^2)(a^2 - b^2 + 2bc - c^2) = - (a^2 - b^2 - c^2 - 2bc) (a^2 - b^2 - c^2 + 2bc)$

$= - ((a^2 - (b^2 + c^2)) - 2bc) ((a^2 - (b^2 + c^2)) + 2bc)$

和と差の積の公式 $(A+B)(A-B) = A^2 - B^2$ を利用します。

$- ((a^2 - (b^2 + c^2))^2 - (2bc)^2)$

$= - (a^4 - 2a^2(b^2 + c^2) + (b^2 + c^2)^2 - 4b^2c^2)$

$= - (a^4 - 2a^2b^2 - 2a^2c^2 + b^4 + 2b^2c^2 + c^4 - 4b^2c^2)$

$= - (a^4 + b^4 + c^4 - 2a^2b^2 - 2a^2c^2 - 2b^2c^2)$

$= - a^4 - b^4 - c^4 + 2a^2b^2 + 2a^2c^2 + 2b^2c^2$

$= 2a^2b^2 + 2b^2c^2 + 2c^2a^2 - a^4 - b^4 - c^4$

3. 最終的な答え

(1) $6x^2 - xy - 2y^2 - 7x + 7y - 3 = (2x - y + 3)(3x + 2y - 1)$

(2) $(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c) = 2a^2b^2 + 2b^2c^2 + 2c^2a^2 - a^4 - b^4 - c^4$