画像の問題の中から、以下の問題を解きます。 * 問4(1) $x-1<5x+3$ * 問4(2) $x+3 \ge \frac{1}{2}(x+1)$ * 問5 頂点が$(1, 2)$で、点$(11, 22)$を通る放物線をグラフにもつ2次関数を求めよ。 * 問6(1) $x^2+2x-6=0$ * 問6(2) $2x^2-x-7=0$ * 問6(3) $x^2+8x+15\ge 0$ * 問6(4) $x^2+6x-16<0$ * 問7 三角形ABCにおいて、$AB=6$, $CA=5$, $\angle BAC=120^\circ$のとき、$BC$の長さを求めよ。

1. 問題の内容

画像の問題の中から、以下の問題を解きます。

* 問4(1) $x-1<5x+3$

* 問4(2) $x+3 \ge \frac{1}{2}(x+1)$

* 問5 頂点が$(1, 2)$で、点$(11, 22)$を通る放物線をグラフにもつ2次関数を求めよ。

* 問6(1) $x^2+2x-6=0$

* 問6(2) $2x^2-x-7=0$

* 問6(3) $x^2+8x+15\ge 0$

* 問6(4) $x^2+6x-16<0$

* 問7 三角形ABCにおいて、$AB=6$, $CA=5$, $\angle BAC=120^\circ$のとき、$BC$の長さを求めよ。

2. 解き方の手順

* 問4(1) $x-1<5x+3$

$x$を右辺に、数字を左辺に集めると、$-1-3<5x-x$

$-4<4x$

$x>-1$

* 問4(2) $x+3 \ge \frac{1}{2}(x+1)$

両辺に2をかけて、$2(x+3) \ge x+1$

$2x+6 \ge x+1$

$2x-x \ge 1-6$

$x \ge -5$

* 問5 頂点が$(1, 2)$であるから、求める2次関数は$y=a(x-1)^2+2$とおける。

点$(11, 22)$を通るので、$22=a(11-1)^2+2$

$22=100a+2$

$100a=20$

$a=\frac{1}{5}$

よって、$y=\frac{1}{5}(x-1)^2+2 = \frac{1}{5}(x^2-2x+1)+2=\frac{1}{5}x^2 - \frac{2}{5}x + \frac{1}{5} + 2=\frac{1}{5}x^2 - \frac{2}{5}x + \frac{11}{5}$

* 問6(1) $x^2+2x-6=0$

解の公式より、$x = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4(1)(-6)}}{2(1)} = \frac{-2 \pm \sqrt{4+24}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{28}}{2} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{7}}{2} = -1 \pm \sqrt{7}$

* 問6(2) $2x^2-x-7=0$

解の公式より、$x = \frac{1 \pm \sqrt{(-1)^2 - 4(2)(-7)}}{2(2)} = \frac{1 \pm \sqrt{1+56}}{4} = \frac{1 \pm \sqrt{57}}{4}$

* 問6(3) $x^2+8x+15\ge 0$

$(x+3)(x+5) \ge 0$

$x \le -5, x \ge -3$

* 問6(4) $x^2+6x-16<0$

$(x+8)(x-2) < 0$

$-8 < x < 2$

* 問7 余弦定理より、$BC^2 = AB^2 + CA^2 - 2AB \cdot CA \cos \angle BAC$

$BC^2 = 6^2 + 5^2 - 2(6)(5) \cos 120^\circ = 36+25 - 60 (-\frac{1}{2}) = 61 + 30 = 91$

$BC = \sqrt{91}$

3. 最終的な答え

* 問4(1): $x > -1$

* 問4(2): $x \ge -5$

* 問5: $y = \frac{1}{5}x^2 - \frac{2}{5}x + \frac{11}{5}$

* 問6(1): $x = -1 \pm \sqrt{7}$

* 問6(2): $x = \frac{1 \pm \sqrt{57}}{4}$

* 問6(3): $x \le -5, x \ge -3$

* 問6(4): $-8 < x < 2$

* 問7: $BC = \sqrt{91}$