(1) 虚数単位 $i$ を用いて、$\frac{2+5i}{4+i} - \frac{i}{4-i}$ を計算する問題です。 (2) $\sqrt{2+\sqrt{3}} + \sqrt{2-\sqrt{3}}$ を簡単に計算する問題です。

1. 問題の内容

(1) 虚数単位 $i$ を用いて、$\frac{2+5i}{4+i} - \frac{i}{4-i}$ を計算する問題です。

(2) $\sqrt{2+\sqrt{3}} + \sqrt{2-\sqrt{3}}$ を簡単に計算する問題です。

2. 解き方の手順

(1)

まず、それぞれの分数の分母を実数化します。

$\frac{2+5i}{4+i} = \frac{(2+5i)(4-i)}{(4+i)(4-i)} = \frac{8-2i+20i-5i^2}{16-i^2} = \frac{8+18i+5}{16+1} = \frac{13+18i}{17}$

$\frac{i}{4-i} = \frac{i(4+i)}{(4-i)(4+i)} = \frac{4i+i^2}{16-i^2} = \frac{4i-1}{16+1} = \frac{-1+4i}{17}$

したがって、

$\frac{2+5i}{4+i} - \frac{i}{4-i} = \frac{13+18i}{17} - \frac{-1+4i}{17} = \frac{13+18i+1-4i}{17} = \frac{14+14i}{17} = \frac{14}{17} + \frac{14}{17}i$

(2)

$x = \sqrt{2+\sqrt{3}} + \sqrt{2-\sqrt{3}}$ とおきます。

両辺を2乗すると、

$x^2 = (\sqrt{2+\sqrt{3}} + \sqrt{2-\sqrt{3}})^2$

$x^2 = (2+\sqrt{3}) + 2\sqrt{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})} + (2-\sqrt{3})$

$x^2 = 4 + 2\sqrt{4-3} = 4 + 2\sqrt{1} = 4+2 = 6$

$x = \pm\sqrt{6}$

ここで、$x = \sqrt{2+\sqrt{3}} + \sqrt{2-\sqrt{3}}$ なので、$x>0$ であるから、$x = \sqrt{6}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{14}{17} + \frac{14}{17}i$

(2) $\sqrt{6}$