放物線 $y = x^2 + 14x + 50$ について、以下の問いに答えます。 (1) 放物線の頂点を求める。 (2) $-9 \leq x \leq -6$ における $y$ の最大値と最小値を求める。 (3) 放物線を $y$ 軸方向に $-7$ だけ平行移動したグラフと $x$ 軸との交点を A, B とするとき、線分 AB の長さを求める。

## 解答

1. 問題の内容

放物線 $y = x^2 + 14x + 50$ について、以下の問いに答えます。

(1) 放物線の頂点を求める。

(2) $-9 \leq x \leq -6$ における $y$ の最大値と最小値を求める。

(3) 放物線を $y$ 軸方向に $-7$ だけ平行移動したグラフと $x$ 軸との交点を A, B とするとき、線分 AB の長さを求める。

2. 解き方の手順

(1) 放物線の頂点を求める

放物線 $y = x^2 + 14x + 50$ を平方完成します。

$y = x^2 + 14x + 50$

$y = (x^2 + 14x + 49) - 49 + 50$

$y = (x + 7)^2 + 1$

したがって、頂点は $(-7, 1)$ です。

(2) $-9 \leq x \leq -6$ における $y$ の最大値と最小値を求める

放物線 $y = (x + 7)^2 + 1$ は、軸が $x = -7$ であり、下に凸なグラフです。

$-9 \leq x \leq -6$ の範囲で考えます。

$x = -7$ はこの範囲に含まれています。

$x = -7$ で最小値 $1$ をとります。

$x = -9$ のとき $y = (-9 + 7)^2 + 1 = (-2)^2 + 1 = 4 + 1 = 5$

$x = -6$ のとき $y = (-6 + 7)^2 + 1 = (1)^2 + 1 = 1 + 1 = 2$

したがって、$x = -9$ で最大値 $5$ をとります。

(3) 放物線を $y$ 軸方向に $-7$ だけ平行移動したグラフと $x$ 軸との交点を A, B とするとき、線分 AB の長さを求める

$y$ 軸方向に $-7$ だけ平行移動したグラフは、

$y + 7 = x^2 + 14x + 50$

$y = x^2 + 14x + 43$

$x$ 軸との交点は $y = 0$ のときなので、

$x^2 + 14x + 43 = 0$

解の公式より

$x = \frac{-14 \pm \sqrt{14^2 - 4 \cdot 1 \cdot 43}}{2}$

$x = \frac{-14 \pm \sqrt{196 - 172}}{2}$

$x = \frac{-14 \pm \sqrt{24}}{2}$

$x = \frac{-14 \pm 2\sqrt{6}}{2}$

$x = -7 \pm \sqrt{6}$

A, B の $x$ 座標はそれぞれ $-7 - \sqrt{6}$ と $-7 + \sqrt{6}$ なので、

線分 AB の長さは

$(-7 + \sqrt{6}) - (-7 - \sqrt{6}) = -7 + \sqrt{6} + 7 + \sqrt{6} = 2\sqrt{6}$

3. 最終的な答え

(1) 頂点: $(-7, 1)$

(2) 最大値: 5, 最小値: 1

(3) 線分 AB の長さ: $2\sqrt{6}$