SENSEI AI
About App

与えられた2組の行列について、それぞれの組が行列の積に関して可換であるかどうかを調べる問題です。 (1) の行列は $ \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & a \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 & 1 & a \\ 1 & a & 0 \\ 0 & 0 & a \end{bmatrix} $ (2) の行列は $ \begin{bmatrix} a & 0 & 0 \\ 0 & b & 0 \\ 0 & 0 & c \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix} $

代数学行列行列の積可換線形代数
2025/5/27

1. 問題の内容

与えられた2組の行列について、それぞれの組が行列の積に関して可換であるかどうかを調べる問題です。
(1) の行列は
\begin{bmatrix}
0 & 1 & 0 \\
1 & 0 & a \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix},
\begin{bmatrix}
0 & 1 & a \\
1 & a & 0 \\
0 & 0 & a
\end{bmatrix}
(2) の行列は
\begin{bmatrix}
a & 0 & 0 \\
0 & b & 0 \\
0 & 0 & c
\end{bmatrix},
\begin{bmatrix}
0 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 0
\end{bmatrix}

2. 解き方の手順

2つの行列A, B が可換であるとは、AB = BA が成り立つことを意味します。それぞれの組について、ABとBAを計算し、等しいかどうかを確かめます。
(1)
A = \begin{bmatrix}
0 & 1 & 0 \\
1 & 0 & a \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix},
B = \begin{bmatrix}
0 & 1 & a \\
1 & a & 0 \\
0 & 0 & a
\end{bmatrix}
AB = \begin{bmatrix}
0 & 1 & 0 \\
1 & 0 & a \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
0 & 1 & a \\
1 & a & 0 \\
0 & 0 & a
\end{bmatrix}
= \begin{bmatrix}
1 & a & 0 \\
0 & 1 & 2a \\
0 & 0 & a
\end{bmatrix}
BA = \begin{bmatrix}
0 & 1 & a \\
1 & a & 0 \\
0 & 0 & a
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
0 & 1 & 0 \\
1 & 0 & a \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
= \begin{bmatrix}
1 & 0 & a+a \\
a & 1 & a \\
0 & 0 & a
\end{bmatrix}
= \begin{bmatrix}
1 & 0 & 2a \\
a & 1 & a \\
0 & 0 & a
\end{bmatrix}
AB = BA となるためには、
\begin{bmatrix}
1 & a & 0 \\
0 & 1 & 2a \\
0 & 0 & a
\end{bmatrix} =
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 2a \\
a & 1 & a \\
0 & 0 & a
\end{bmatrix}
したがって、a=0a=0 でなければなりません。
(2)
A = \begin{bmatrix}
a & 0 & 0 \\
0 & b & 0 \\
0 & 0 & c
\end{bmatrix},
B = \begin{bmatrix}
0 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 0
\end{bmatrix}
AB = \begin{bmatrix}
a & 0 & 0 \\
0 & b & 0 \\
0 & 0 & c
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
0 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 0
\end{bmatrix}
= \begin{bmatrix}
0 & 0 & a \\
0 & b & 0 \\
c & 0 & 0
\end{bmatrix}
BA = \begin{bmatrix}
0 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 0
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
a & 0 & 0 \\
0 & b & 0 \\
0 & 0 & c
\end{bmatrix}
= \begin{bmatrix}
0 & 0 & c \\
0 & b & 0 \\
a & 0 & 0
\end{bmatrix}
AB = BA となるためには、
\begin{bmatrix}
0 & 0 & a \\
0 & b & 0 \\
c & 0 & 0
\end{bmatrix} =
\begin{bmatrix}
0 & 0 & c \\
0 & b & 0 \\
a & 0 & 0
\end{bmatrix}
したがって、a=ca=c でなければなりません。

3. 最終的な答え

(1) a=0a=0 のとき、可換。
(2) a=ca=c のとき、可換。

「代数学」の関連問題

与えられた5x5行列 $A$ の行列式を求めます。 $ A = \begin{vmatrix} 3 & 4 & 7 & 9 & 8 \\ 1 & 5 & 2 & 4 & 9 \\ 0 & 0 & 1 ...

行列式線形代数余因子展開行列
2025/5/28

2次方程式 $x^2 - 2mx + m^2 + 2m + 3 = 0$ の一つの解が他の解に2を加えた数となるとき、定数 $m$ の値を求めよ。

二次方程式解と係数の関係方程式の解
2025/5/28

2次方程式 $x^2 - 2mx + m^2 + 2m + 3 = 0$ の一つの解が他の解に2を加えた数となるような定数 $m$ の値を求める問題です。

二次方程式解と係数の関係
2025/5/28

2次方程式 $x^2 - 2mx + m^2 + 2m + 3 = 0$ の1つの解が、もう1つの解に2を加えた数となるような定数 $m$ の値を求めよ。

二次方程式解と係数の関係方程式
2025/5/28

2次方程式 $x^2 - 2mx + m^2 + 2m + 3 = 0$ の一つの解が他の解に2を加えた数となるような定数 $m$ の値を求めよ。

二次方程式解と係数の関係方程式
2025/5/28

画像には3つの問題がありますが、2番目の問題に答えます。 数列$\{a_n\}$があり、その初項は3であり、階差数列が$b_n = 2n + 1$であるとき、数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ。

数列一般項階差数列シグマ
2025/5/28

2次関数 $y = ax^2$ のグラフに関する説明の空欄を埋める問題です。軸、頂点、$a > 0$ のとき、$a < 0$ のときにどのようなグラフになるかを答えます。

二次関数グラフ放物線
2025/5/28

(5) 第5項が-48, 第7項が-192である等比数列の一般項を求める。 (6) 数列 8, a, b が等差数列であり、数列 a, b, 36が等比数列であるとき、aの値を求める。

数列等比数列等差数列一般項連立方程式
2025/5/28

与えられた6つの計算問題を解く。これらの問題は、分数、指数、掛け算、割り算を含む計算である。

指数計算
2025/5/28

90俵の米俵を9段に積み上げる。各段の米俵の数は、すぐ下の段よりも1つ少なく、一番上の段もその下の段よりも1つ少ない。上から5段目に並ぶ米俵の数を求めよ。

等差数列数列和線形方程式
2025/5/28