2次方程式 $x^2 - 2mx + m^2 + 2m + 3 = 0$ の1つの解が、もう1つの解に2を加えた数となるような定数 $m$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 - 2mx + m^2 + 2m + 3 = 0$ の1つの解が、もう1つの解に2を加えた数となるような定数 $m$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

2つの解を $\alpha$、$\alpha + 2$ とおく。

解と係数の関係より、

解の和は $2m$、解の積は $m^2 + 2m + 3$ になる。

解の和：

$\alpha + (\alpha + 2) = 2m$

$2\alpha + 2 = 2m$

$\alpha + 1 = m$

$\alpha = m - 1$

解の積：

$\alpha (\alpha + 2) = m^2 + 2m + 3$

$\alpha^2 + 2\alpha = m^2 + 2m + 3$

$\alpha = m - 1$ を代入する。

$(m-1)^2 + 2(m-1) = m^2 + 2m + 3$

$m^2 - 2m + 1 + 2m - 2 = m^2 + 2m + 3$

$m^2 - 1 = m^2 + 2m + 3$

$2m = -4$

$m = -2$

3. 最終的な答え

$m = -2$