画像には3つの問題がありますが、2番目の問題に答えます。 数列$\{a_n\}$があり、その初項は3であり、階差数列が$b_n = 2n + 1$であるとき、数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ。

## 問題の解答

1. 問題の内容

画像には3つの問題がありますが、2番目の問題に答えます。

数列$\{a_n\}$があり、その初項は3であり、階差数列が$b_n = 2n + 1$であるとき、数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ。

2. 解き方の手順

数列$\{a_n\}$の階差数列が$b_n = 2n + 1$であるとき、$n \geq 2$において、

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} b_k$

が成り立ちます。

ここで、$a_1 = 3$であり、$b_k = 2k + 1$なので、

$a_n = 3 + \sum_{k=1}^{n-1} (2k + 1)$

$\sum_{k=1}^{n-1} (2k + 1) = 2\sum_{k=1}^{n-1} k + \sum_{k=1}^{n-1} 1$

$= 2\frac{(n-1)n}{2} + (n-1)$

$= (n-1)n + (n-1)$

$= n^2 - n + n - 1$

$= n^2 - 1$

よって、$a_n = 3 + n^2 - 1 = n^2 + 2$

$n=1$のとき、$a_1 = 1^2 + 2 = 3$となるので、この式は$n=1$でも成り立ちます。

3. 最終的な答え

数列$\{a_n\}$の一般項は、

$a_n = n^2 + 2$