2次方程式 $x^2 - 2mx + m^2 + 2m + 3 = 0$ の一つの解が他の解に2を加えた数となるような定数 $m$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 - 2mx + m^2 + 2m + 3 = 0$ の一つの解が他の解に2を加えた数となるような定数 $m$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

2つの解を $\alpha$、$\alpha + 2$ とおく。

解と係数の関係より、

和: $\alpha + (\alpha + 2) = 2m$

積: $\alpha (\alpha + 2) = m^2 + 2m + 3$

和の式から $\alpha$ について解く。

$2 \alpha + 2 = 2m$

$\alpha = m - 1$

これを積の式に代入する。

$(m-1)(m-1+2) = m^2 + 2m + 3$

$(m-1)(m+1) = m^2 + 2m + 3$

$m^2 - 1 = m^2 + 2m + 3$

$2m = -4$

$m = -2$

3. 最終的な答え

$m = -2$