与えられた6つの計算問題を解く。これらの問題は、分数、指数、掛け算、割り算を含む計算である。

1. 問題の内容

与えられた6つの計算問題を解く。これらの問題は、分数、指数、掛け算、割り算を含む計算である。

2. 解き方の手順

各問題を順に解いていく。

(1) $2^{\frac{1}{6}} \times 2^{\frac{1}{3}}$

指数の法則 $a^m \times a^n = a^{m+n}$ を使う。

$2^{\frac{1}{6}} \times 2^{\frac{1}{3}} = 2^{\frac{1}{6} + \frac{1}{3}} = 2^{\frac{1}{6} + \frac{2}{6}} = 2^{\frac{3}{6}} = 2^{\frac{1}{2}} = \sqrt{2}$

(2) $(3^{\frac{3}{2}})^{\frac{1}{6}}$

指数の法則 $(a^m)^n = a^{m \times n}$ を使う。

$(3^{\frac{3}{2}})^{\frac{1}{6}} = 3^{\frac{3}{2} \times \frac{1}{6}} = 3^{\frac{3}{12}} = 3^{\frac{1}{4}} = \sqrt[4]{3}$

(3) $5^{\frac{3}{4}} \div 5^{-\frac{5}{4}}$

指数の法則 $a^m \div a^n = a^{m-n}$ を使う。

$5^{\frac{3}{4}} \div 5^{-\frac{5}{4}} = 5^{\frac{3}{4} - (-\frac{5}{4})} = 5^{\frac{3}{4} + \frac{5}{4}} = 5^{\frac{8}{4}} = 5^2 = 25$

(4) $7^{\frac{1}{3}} \times 7^{\frac{1}{6}} \div 7^{\frac{1}{2}}$

指数の法則 $a^m \times a^n = a^{m+n}$ と $a^m \div a^n = a^{m-n}$ を使う。

$7^{\frac{1}{3}} \times 7^{\frac{1}{6}} \div 7^{\frac{1}{2}} = 7^{\frac{1}{3} + \frac{1}{6} - \frac{1}{2}} = 7^{\frac{2}{6} + \frac{1}{6} - \frac{3}{6}} = 7^{\frac{0}{6}} = 7^0 = 1$

(5) $3^{\frac{1}{2}} \times 3^{\frac{1}{3}} \times 3^{\frac{1}{6}}$

指数の法則 $a^m \times a^n = a^{m+n}$ を使う。

$3^{\frac{1}{2}} \times 3^{\frac{1}{3}} \times 3^{\frac{1}{6}} = 3^{\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{6}} = 3^{\frac{3}{6} + \frac{2}{6} + \frac{1}{6}} = 3^{\frac{6}{6}} = 3^1 = 3$

(6) $2^{\frac{1}{3}} \times 2^{\frac{1}{2}} \div 4^{\frac{1}{6}}$

まず、底を2に揃えるために、$4^{\frac{1}{6}}$を$(2^2)^{\frac{1}{6}} = 2^{\frac{2}{6}} = 2^{\frac{1}{3}}$と変形する。

$2^{\frac{1}{3}} \times 2^{\frac{1}{2}} \div 2^{\frac{1}{3}} = 2^{\frac{1}{3} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3}} = 2^{\frac{1}{2}} = \sqrt{2}$

3. 最終的な答え

(1) $\sqrt{2}$

(2) $\sqrt[4]{3}$

(3) 25

(4) 1

(5) 3

(6) $\sqrt{2}$