与えられた行列 $C = \begin{bmatrix} 3 & 9 & 5 \\ 2 & 6 & 3 \\ -2 & -6 & -5 \end{bmatrix}$ を簡約化せよ。簡約化の結果の行列の要素をそれぞれ「ア」、「イ」、「ウ」、「エ」、「オ」、「カ」、「キ」、「ク」、「ケ」とする。

1. 問題の内容

与えられた行列 $C = \begin{bmatrix} 3 & 9 & 5 \\ 2 & 6 & 3 \\ -2 & -6 & -5 \end{bmatrix}$ を簡約化せよ。簡約化の結果の行列の要素をそれぞれ「ア」、「イ」、「ウ」、「エ」、「オ」、「カ」、「キ」、「ク」、「ケ」とする。

2. 解き方の手順

行列 $C$ を簡約化するために、行基本変形を行う。

まず、1行目を基準にして2行目を簡約化する。

2行目から1行目の $\frac{2}{3}$ 倍を引く。

$R_2 \rightarrow R_2 - \frac{2}{3}R_1$

$\begin{bmatrix} 3 & 9 & 5 \\ 2 - \frac{2}{3} \times 3 & 6 - \frac{2}{3} \times 9 & 3 - \frac{2}{3} \times 5 \\ -2 & -6 & -5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & 9 & 5 \\ 0 & 0 & -\frac{1}{3} \\ -2 & -6 & -5 \end{bmatrix}$

次に、1行目を基準にして3行目を簡約化する。

3行目に1行目の $\frac{2}{3}$ 倍を足す。

$R_3 \rightarrow R_3 + \frac{2}{3}R_1$

$\begin{bmatrix} 3 & 9 & 5 \\ 0 & 0 & -\frac{1}{3} \\ -2 + \frac{2}{3} \times 3 & -6 + \frac{2}{3} \times 9 & -5 + \frac{2}{3} \times 5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & 9 & 5 \\ 0 & 0 & -\frac{1}{3} \\ 0 & 0 & -\frac{5}{3} \end{bmatrix}$

次に、2行目を基準にして3行目を簡約化する。

3行目から2行目の5倍を引く。

$R_3 \rightarrow R_3 - 5R_2$

$\begin{bmatrix} 3 & 9 & 5 \\ 0 & 0 & -\frac{1}{3} \\ 0 & 0 & -\frac{5}{3} - 5 \times (-\frac{1}{3}) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & 9 & 5 \\ 0 & 0 & -\frac{1}{3} \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

さらに簡約化を行う。

1行目を3で割る。

$R_1 \rightarrow \frac{1}{3}R_1$

$\begin{bmatrix} 1 & 3 & \frac{5}{3} \\ 0 & 0 & -\frac{1}{3} \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

2行目を-3倍する。

$R_2 \rightarrow -3R_2$

$\begin{bmatrix} 1 & 3 & \frac{5}{3} \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

1行目から2行目の $\frac{5}{3}$ 倍を引く。

$R_1 \rightarrow R_1 - \frac{5}{3}R_2$

$\begin{bmatrix} 1 & 3 & \frac{5}{3} - \frac{5}{3} \times 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

3. 最終的な答え

簡約化の結果は $\begin{bmatrix} 1 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$ となる。

したがって、

ア = 1

イ = 3

ウ = 0

エ = 0

オ = 0

カ = 1

キ = 0

ク = 0

ケ = 0