90俵の米俵を9段に積み上げる。各段の米俵の数は、すぐ下の段よりも1つ少なく、一番上の段もその下の段よりも1つ少ない。上から5段目に並ぶ米俵の数を求めよ。

1. 問題の内容

90俵の米俵を9段に積み上げる。各段の米俵の数は、すぐ下の段よりも1つ少なく、一番上の段もその下の段よりも1つ少ない。上から5段目に並ぶ米俵の数を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、各段の米俵の数を数列 $a_1, a_2, \dots, a_9$ とします。

条件より、これは等差数列であり、公差は-1です。

したがって、$a_i = a_1 - (i-1)$ と表せます。

米俵の総数は90なので、

$$\sum_{i=1}^9 a_i = 90$$

これを $a_1$ を用いて書き換えます。

$$\sum_{i=1}^9 (a_1 - (i-1)) = 90$$

$$9a_1 - \sum_{i=1}^9 (i-1) = 90$$

$$9a_1 - \sum_{i=0}^8 i = 90$$

$$9a_1 - \frac{8 \times 9}{2} = 90$$

$$9a_1 - 36 = 90$$

$$9a_1 = 126$$

$$a_1 = 14$$

上から5段目の米俵の数は $a_5$ なので、

$$a_5 = a_1 - (5-1) = a_1 - 4 = 14 - 4 = 10$$

3. 最終的な答え

10俵