2次方程式 $x^2 - 2mx + m^2 + 2m + 3 = 0$ の一つの解が他の解に2を加えた数となるとき、定数 $m$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 - 2mx + m^2 + 2m + 3 = 0$ の一つの解が他の解に2を加えた数となるとき、定数 $m$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

この2次方程式の解を $\alpha$、$\alpha + 2$ とおく。

解と係数の関係より、以下の2式が成り立つ。

$\alpha + (\alpha + 2) = 2m$

$\alpha(\alpha + 2) = m^2 + 2m + 3$

1つ目の式より、

$2\alpha + 2 = 2m$

$\alpha = m - 1$

これを2つ目の式に代入すると、

$(m - 1)(m - 1 + 2) = m^2 + 2m + 3$

$(m - 1)(m + 1) = m^2 + 2m + 3$

$m^2 - 1 = m^2 + 2m + 3$

$0 = 2m + 4$

$2m = -4$

$m = -2$

3. 最終的な答え

$m = -2$