(5) 第5項が-48, 第7項が-192である等比数列の一般項を求める。 (6) 数列 8, a, b が等差数列であり、数列 a, b, 36が等比数列であるとき、aの値を求める。

1. 問題の内容

(5) 第5項が-48, 第7項が-192である等比数列の一般項を求める。

(6) 数列 8, a, b が等差数列であり、数列 a, b, 36が等比数列であるとき、aの値を求める。

2. 解き方の手順

(5) 等比数列の一般項を $a_n = ar^{n-1}$ とおく。ここで、$a$ は初項、$r$ は公比、$n$ は項数である。

第5項が -48 なので、$ar^4 = -48$。

第7項が -192 なので、$ar^6 = -192$。

$ar^6 / ar^4 = (-192) / (-48)$

$r^2 = 4$

$r = \pm 2$

$r = 2$ のとき、$16a = -48$ より $a = -3$。

一般項は $a_n = -3 \cdot 2^{n-1}$。

$r = -2$ のとき、$16a = -48$ より $a = -3$。

一般項は $a_n = -3 \cdot (-2)^{n-1}$。

(6) 8, a, b が等差数列なので、$a - 8 = b - a$。

よって、$2a = 8 + b$。つまり、$b = 2a - 8$。

a, b, 36 が等比数列なので、$b/a = 36/b$。

よって、$b^2 = 36a$。

$b = 2a - 8$ を $b^2 = 36a$ に代入すると、

$(2a - 8)^2 = 36a$

$4a^2 - 32a + 64 = 36a$

$4a^2 - 68a + 64 = 0$

$a^2 - 17a + 16 = 0$

$(a - 1)(a - 16) = 0$

$a = 1$ または $a = 16$

$a = 1$ のとき、$b = 2a - 8 = 2 - 8 = -6$。

数列 a, b, 36 は 1, -6, 36 となり、公比は -6。これは等比数列である。

$a = 16$ のとき、$b = 2a - 8 = 32 - 8 = 24$。

数列 a, b, 36 は 16, 24, 36 となり、公比は $24/16 = 3/2$。

$36/24 = 3/2$。これは等比数列である。

したがって、$a = 1$ または $a = 16$。

3. 最終的な答え

(5) $a_n = -3 \cdot 2^{n-1}$ または $a_n = -3 \cdot (-2)^{n-1}$

(6) $a = 1$ または $a = 16$