与えられた5x5行列 $A$ の行列式を求めます。 $ A = \begin{vmatrix} 3 & 4 & 7 & 9 & 8 \\ 1 & 5 & 2 & 4 & 9 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 4 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 3 & 1 \end{vmatrix} $

1. 問題の内容

与えられた5x5行列 $A$ の行列式を求めます。

$A = \begin{vmatrix} 3 & 4 & 7 & 9 & 8 \\ 1 & 5 & 2 & 4 & 9 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 4 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 3 & 1 \end{vmatrix}$

2. 解き方の手順

行列式を計算するために、まず第1列に関して余因子展開を行います。

$det(A) = 3 \cdot C_{11} + 1 \cdot C_{21} + 0 \cdot C_{31} + 0 \cdot C_{41} + 0 \cdot C_{51}$

ここで、$C_{ij}$ は行列 $A$ の $(i, j)$ 成分の余因子です。

したがって、

$det(A) = 3 \cdot \begin{vmatrix} 5 & 2 & 4 & 9 \\ 0 & 1 & 2 & 1 \\ 0 & 4 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 3 & 1 \end{vmatrix} - 1 \cdot \begin{vmatrix} 4 & 7 & 9 & 8 \\ 0 & 1 & 2 & 1 \\ 0 & 4 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 3 & 1 \end{vmatrix}$

次に、それぞれの4x4行列の行列式を計算します。どちらの行列も第1列で余因子展開すると、

$det(A) = 3 \cdot 5 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 4 & -1 & 0 \\ 1 & 3 & 1 \end{vmatrix} - 1 \cdot 4 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 4 & -1 & 0 \\ 1 & 3 & 1 \end{vmatrix}$

3x3行列の行列式を計算します。

$\begin{vmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 4 & -1 & 0 \\ 1 & 3 & 1 \end{vmatrix} = 1(-1 - 0) - 2(4 - 0) + 1(12 - (-1)) = -1 - 8 + 13 = 4$

したがって、

$det(A) = 3 \cdot 5 \cdot 4 - 1 \cdot 4 \cdot 4 = 60 - 16 = 44$

3. 最終的な答え

$det(A) = 44$