与えられた数列の和を求める問題です。具体的には、以下の2つの和を計算します。 (1) $\sum_{k=1}^{n} (4k + 3)$ (2) $\sum_{k=1}^{n} (3k^2 + k - 2)$

1. 問題の内容

与えられた数列の和を求める問題です。具体的には、以下の2つの和を計算します。

(1) $\sum_{k=1}^{n} (4k + 3)$

(2) $\sum_{k=1}^{n} (3k^2 + k - 2)$

2. 解き方の手順

(1) $\sum_{k=1}^{n} (4k + 3)$ について

まず、$\sum$ の性質を利用して、和を分割します。

$\sum_{k=1}^{n} (4k + 3) = \sum_{k=1}^{n} 4k + \sum_{k=1}^{n} 3$

定数倍は $\sum$ の外に出せるので、

$4 \sum_{k=1}^{n} k + 3 \sum_{k=1}^{n} 1$

$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$、$\sum_{k=1}^{n} 1 = n$ であることを利用すると、

$4 \cdot \frac{n(n+1)}{2} + 3n = 2n(n+1) + 3n = 2n^2 + 2n + 3n = 2n^2 + 5n$

(2) $\sum_{k=1}^{n} (3k^2 + k - 2)$ について

同様に、$\sum$ の性質を利用して、和を分割します。

$\sum_{k=1}^{n} (3k^2 + k - 2) = \sum_{k=1}^{n} 3k^2 + \sum_{k=1}^{n} k - \sum_{k=1}^{n} 2$

定数倍は $\sum$ の外に出せるので、

$3 \sum_{k=1}^{n} k^2 + \sum_{k=1}^{n} k - 2 \sum_{k=1}^{n} 1$

$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$、$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$、$\sum_{k=1}^{n} 1 = n$ であることを利用すると、

$3 \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + \frac{n(n+1)}{2} - 2n = \frac{n(n+1)(2n+1)}{2} + \frac{n(n+1)}{2} - 2n$

$= \frac{n(n+1)(2n+1) + n(n+1) - 4n}{2} = \frac{n[(n+1)(2n+1) + (n+1) - 4]}{2}$

$= \frac{n[2n^2 + 3n + 1 + n + 1 - 4]}{2} = \frac{n[2n^2 + 4n - 2]}{2} = n(n^2 + 2n - 1) = n^3 + 2n^2 - n$

3. 最終的な答え

(1) $2n^2 + 5n$

(2) $n^3 + 2n^2 - n$