問題は、行列に対する基本変形（行に関する操作）についてです。具体的には、以下の3つの操作に関する問題があります。 * 操作1：ある行を定数倍する。 * 操作2：ある行の定数倍を別の行に足す。 * 操作3：ある2つの行を入れ替える。 問題4：操作1を実現する行列を求める。 問題5：操作2の例として、第1行の$a$倍を第2行に足す操作を実現する行列を求める。 問題6：操作3の例として、第2行と第3行を入れ替える操作を実現する行列を求める。 問題7：線形変換によって写されたベクトルが一次独立ならば、元のベクトルも一次独立であることを示す。

1. 問題の内容

問題は、行列に対する基本変形（行に関する操作）についてです。具体的には、以下の3つの操作に関する問題があります。

* 操作1：ある行を定数倍する。

* 操作2：ある行の定数倍を別の行に足す。

* 操作3：ある2つの行を入れ替える。

問題4：操作1を実現する行列を求める。

問題5：操作2の例として、第1行の$a$倍を第2行に足す操作を実現する行列を求める。

問題6：操作3の例として、第2行と第3行を入れ替える操作を実現する行列を求める。

問題7：線形変換によって写されたベクトルが一次独立ならば、元のベクトルも一次独立であることを示す。

2. 解き方の手順

問題4：

操作1は、対角成分に定数$a$を持つ単位行列を左から掛けることで実現できます。つまり、指定された3つの行列のいずれかを選択します。

問題5：

第1行の$a$倍を第2行に足す操作を行う行列は、単位行列の$(2, 1)$成分を$a$に置き換えたものです。

問題6：

第2行と第3行を入れ替える操作を行う行列は、単位行列の第2行と第3行を入れ替えたものです。

問題7：

$Ab_1, ..., Ab_p$が一次独立であると仮定します。これは、任意の$k_1, ..., k_p \in \mathbb{R}$に対して、

$k_1Ab_1 + ... + k_pAb_p = 0$ならば、$k_1 = ... = k_p = 0$が成り立つことを意味します。

この式は、$A(k_1b_1 + ... + k_pb_p) = 0$と書き換えることができます。

ここで、$k_1b_1 + ... + k_pb_p = v$とおくと、$Av = 0$となります。

もし$A$が正則行列であれば、$v = 0$となり、$k_1b_1 + ... + k_pb_p = 0$となります。

$b_1, ..., b_p$が一次独立であるためには、$k_1 = ... = k_p = 0$となる必要があります。

したがって、$A$が正則行列であれば、$b_1, ..., b_p$も一次独立であるといえます。

ただし、$A$が正則行列でない場合は、一般に$b_1, ..., b_p$が一次独立であるとは限りません。例えば、$A$の核に含まれるベクトルが存在する場合、一次独立な$b_i$であっても、$Ab_i = 0$となり、$Ab_1, ..., Ab_p$が一次従属になることがあります。

3. 最終的な答え

問題4：

$\begin{pmatrix} a & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & a & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & a \end{pmatrix}$

問題5：

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ a & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

問題6：

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$

問題7：

$A$が正則行列であるとき、$Ab_1, ..., Ab_p$が一次独立ならば、$b_1, ..., b_p$も一次独立である。