与えられた和 $\sum_{k=1}^{n} (k^2 + 3k + 1)$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた和 $\sum_{k=1}^{n} (k^2 + 3k + 1)$ を計算します。

2. 解き方の手順

和の性質を利用して、与えられた和を3つの和に分解します。

$\sum_{k=1}^{n} (k^2 + 3k + 1) = \sum_{k=1}^{n} k^2 + 3\sum_{k=1}^{n} k + \sum_{k=1}^{n} 1$

次に、以下の公式を利用します。

$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$

$\sum_{k=1}^{n} 1 = n$

これらの公式を代入すると、

$\sum_{k=1}^{n} (k^2 + 3k + 1) = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + 3 \cdot \frac{n(n+1)}{2} + n$

右辺を整理します。

$\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + \frac{9n(n+1)}{6} + \frac{6n}{6} = \frac{n}{6}[(n+1)(2n+1) + 9(n+1) + 6]$

$= \frac{n}{6}[2n^2 + 3n + 1 + 9n + 9 + 6] = \frac{n}{6}[2n^2 + 12n + 16]$

$= \frac{n}{3}[n^2 + 6n + 8] = \frac{n(n+2)(n+4)}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{n(n+2)(n+4)}{3}$