与えられた数学の問題は、全部で5つの小問から構成されています。 (1) 2次式の因数分解 (2) 絶対値を含む方程式を解く (3) 放物線の平行移動後の式を求める (4) 連立不等式を満たす整数の個数を求める (5) 2次方程式の解と係数の関係から未知数を求める

1. 問題の内容

与えられた数学の問題は、全部で5つの小問から構成されています。

(1) 2次式の因数分解

(2) 絶対値を含む方程式を解く

(3) 放物線の平行移動後の式を求める

(4) 連立不等式を満たす整数の個数を求める

(5) 2次方程式の解と係数の関係から未知数を求める

2. 解き方の手順

(1) 2次式の因数分解:

$3x^2 - 2x - 1$ を因数分解します。

たすき掛けを使って、$3x^2 - 2x - 1 = (3x + 1)(x - 1)$ となります。

(2) 絶対値を含む方程式を解く:

$|2x + 3| = 5$ を解きます。

$2x + 3 = 5$ または $2x + 3 = -5$ となります。

$2x + 3 = 5$ のとき、$2x = 2$ より $x = 1$

$2x + 3 = -5$ のとき、$2x = -8$ より $x = -4$

よって、$x = 1, -4$

(3) 放物線の平行移動:

$y = (x - 1)^2 - 2$ を $x$軸方向に1, $y$軸方向に-2だけ平行移動します。

平行移動後の式は、$y + 2 = (x - 1 - 1)^2 - 2$

$y = (x - 2)^2 - 4$

$y = x^2 - 4x + 4 - 4$

$y = x^2 - 4x$

(4) 連立不等式:

$4x - 1 \leq 2x + 5 \leq 3(x + 2)$

$4x - 1 \leq 2x + 5$ より $2x \leq 6$, よって $x \leq 3$

$2x + 5 \leq 3x + 6$ より $-1 \leq x$

よって $-1 \leq x \leq 3$

整数 $x$ は $-1, 0, 1, 2, 3$ の5個。

(5) 2次方程式の解:

$x^2 + (a^2 + a)x - 3 = 0$ の解の一つが $x = 1$ であるとき、

$1^2 + (a^2 + a)(1) - 3 = 0$

$1 + a^2 + a - 3 = 0$

$a^2 + a - 2 = 0$

$(a + 2)(a - 1) = 0$

$a = -2, 1$

3. 最終的な答え

(1) $(3x + 1)(x - 1)$

(2) $1, -4$

(3) $y = x^2 - 4x$

(4) $5$ 個

(5) $-2, 1$