与えられた2次不等式 $x^2 + (a + 1)x - a(a - 1)(a^2 + 1) < 0$ を解く。

1. 問題の内容

与えられた2次不等式 $x^2 + (a + 1)x - a(a - 1)(a^2 + 1) < 0$ を解く。

2. 解き方の手順

まず、2次式 $x^2 + (a + 1)x - a(a - 1)(a^2 + 1)$ を因数分解することを試みます。

$x^2 + (a + 1)x - a(a - 1)(a^2 + 1) = 0$ とおき、この2次方程式の解を求めます。

解の公式を使うよりも、因数分解できるか検討します。

定数項 $- a(a - 1)(a^2 + 1)$ に注目し、因数分解の形を $(x + p)(x + q)$ と仮定します。

ここで $pq = - a(a - 1)(a^2 + 1)$ かつ $p + q = a + 1$ となる $p, q$ を見つける必要があります。

$p = a(a - 1)$, $q = -(a^2 + 1)$ とすると、

$p + q = a(a - 1) - (a^2 + 1) = a^2 - a - a^2 - 1 = -a - 1 = -(a + 1)$

符号が違うので、$p = -a(a - 1)$, $q = (a^2 + 1)$ とすると、

$p + q = -a(a - 1) + (a^2 + 1) = -a^2 + a + a^2 + 1 = a + 1$ となり、条件を満たします。

したがって、$x^2 + (a + 1)x - a(a - 1)(a^2 + 1) = (x - a(a - 1))(x + (a^2 + 1))$ と因数分解できます。

つまり、$x^2 + (a + 1)x - a(a - 1)(a^2 + 1) = (x - a^2 + a)(x + a^2 + 1)$ なので、

与えられた不等式は $(x - a^2 + a)(x + a^2 + 1) < 0$ となります。

この不等式を解くためには、$x - a^2 + a = 0$ と $x + a^2 + 1 = 0$ の解を求めます。

$x = a^2 - a$ と $x = -a^2 - 1$ です。

ここで、$a^2 - a > -a^2 - 1$ であることを確認します。

$a^2 - a - (-a^2 - 1) = 2a^2 - a + 1 = 2(a^2 - \frac{1}{2}a) + 1 = 2(a - \frac{1}{4})^2 - \frac{1}{8} + 1 = 2(a - \frac{1}{4})^2 + \frac{7}{8} > 0$

したがって、$a^2 - a > -a^2 - 1$ が成り立ちます。

不等式 $(x - a^2 + a)(x + a^2 + 1) < 0$ の解は $-a^2 - 1 < x < a^2 - a$ となります。

3. 最終的な答え

$-a^2 - 1 < x < a^2 - a$