次の和を求める問題です。 (1) $\sum_{k=1}^{n}(k^2 + 2k)$ (2) $\sum_{k=1}^{n}(3k^2 - k + 2)$

1. 問題の内容

次の和を求める問題です。

(1) $\sum_{k=1}^{n}(k^2 + 2k)$

(2) $\sum_{k=1}^{n}(3k^2 - k + 2)$

2. 解き方の手順

(1) $\sum_{k=1}^{n}(k^2 + 2k)$ を計算します。

$\sum_{k=1}^{n}k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

$\sum_{k=1}^{n}k = \frac{n(n+1)}{2}$

であるから

$\sum_{k=1}^{n}(k^2 + 2k) = \sum_{k=1}^{n}k^2 + 2\sum_{k=1}^{n}k = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + 2\frac{n(n+1)}{2} = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + n(n+1)$

$= \frac{n(n+1)(2n+1) + 6n(n+1)}{6} = \frac{n(n+1)(2n+1+6)}{6} = \frac{n(n+1)(2n+7)}{6}$

(2) $\sum_{k=1}^{n}(3k^2 - k + 2)$ を計算します。

$\sum_{k=1}^{n}k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

$\sum_{k=1}^{n}k = \frac{n(n+1)}{2}$

$\sum_{k=1}^{n}1 = n$

であるから

$\sum_{k=1}^{n}(3k^2 - k + 2) = 3\sum_{k=1}^{n}k^2 - \sum_{k=1}^{n}k + 2\sum_{k=1}^{n}1 = 3\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} - \frac{n(n+1)}{2} + 2n$

$= \frac{n(n+1)(2n+1)}{2} - \frac{n(n+1)}{2} + 2n = \frac{n(n+1)(2n+1) - n(n+1) + 4n}{2} = \frac{n[(n+1)(2n+1) - (n+1) + 4]}{2}$

$= \frac{n[2n^2+3n+1 - n - 1 + 4]}{2} = \frac{n[2n^2+2n+4]}{2} = \frac{2n[n^2+n+2]}{2} = n(n^2+n+2)$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{n(n+1)(2n+7)}{6}$

(2) $n(n^2+n+2)$