問題7では、与えられた2次式を複素数の範囲で因数分解する必要があります。 問題8では、多項式$P(x) = 2x^2 - 5x - 2$について、いくつかの問いに答える必要があります。

1. 問題の内容

問題7では、与えられた2次式を複素数の範囲で因数分解する必要があります。

問題8では、多項式$P(x) = 2x^2 - 5x - 2$について、いくつかの問いに答える必要があります。

2. 解き方の手順

問題7

(1) $x^2 - 5x + 2 = 0$ を解の公式を用いて解く。

解の公式は $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ である。

この場合、$a = 1$, $b = -5$, $c = 2$ なので、

$x = \frac{5 \pm \sqrt{(-5)^2 - 4(1)(2)}}{2(1)} = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 8}}{2} = \frac{5 \pm \sqrt{17}}{2}$

よって、$x^2 - 5x + 2 = (x - \frac{5 + \sqrt{17}}{2})(x - \frac{5 - \sqrt{17}}{2})$

(2) $x^2 - 4x + 9 = 0$ を解の公式を用いて解く。

この場合、$a = 1$, $b = -4$, $c = 9$ なので、

$x = \frac{4 \pm \sqrt{(-4)^2 - 4(1)(9)}}{2(1)} = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 36}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{-20}}{2} = \frac{4 \pm 2i\sqrt{5}}{2} = 2 \pm i\sqrt{5}$

よって、$x^2 - 4x + 9 = (x - (2 + i\sqrt{5}))(x - (2 - i\sqrt{5}))$

問題8

(1) $P(1) = 2(1)^2 - 5(1) - 2 = 2 - 5 - 2 = -5$

(2) $P(-1) = 2(-1)^2 - 5(-1) - 2 = 2 + 5 - 2 = 5$

(3) $P(x)$を$x - a$で割ったときの余りは、$P(a)$に等しい。（剰余の定理）

(4) $P(a) = 0$のとき、$x - a$は$P(x)$の因数である。（因数定理）

3. 最終的な答え

問題7

(1) $(x - \frac{5 + \sqrt{17}}{2})(x - \frac{5 - \sqrt{17}}{2})$

(2) $(x - (2 + i\sqrt{5}))(x - (2 - i\sqrt{5}))$

問題8

① -5

② 5

③ $P(a)$

④ 因数