$A = \frac{4}{\sqrt{5}-1}$、 $B = \frac{2}{3-\sqrt{5}}$ とする。 (1) Aの分母を有理化し、簡単にせよ。 (2) Bの整数部分と小数部分をそれぞれ求めよ。 (3) Bの小数部分を $p$、$AB$ の小数部分を $q$ とする。このとき、$2pq+4p+q+2$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$A = \frac{4}{\sqrt{5}-1}$、 $B = \frac{2}{3-\sqrt{5}}$ とする。

(1) Aの分母を有理化し、簡単にせよ。

(2) Bの整数部分と小数部分をそれぞれ求めよ。

(3) Bの小数部分を $p$、$AB$ の小数部分を $q$ とする。このとき、$2pq+4p+q+2$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) Aの分母を有理化する。

$A = \frac{4}{\sqrt{5}-1} = \frac{4(\sqrt{5}+1)}{(\sqrt{5}-1)(\sqrt{5}+1)} = \frac{4(\sqrt{5}+1)}{5-1} = \frac{4(\sqrt{5}+1)}{4} = \sqrt{5}+1$

(2) Bの整数部分と小数部分を求める。

$B = \frac{2}{3-\sqrt{5}} = \frac{2(3+\sqrt{5})}{(3-\sqrt{5})(3+\sqrt{5})} = \frac{2(3+\sqrt{5})}{9-5} = \frac{2(3+\sqrt{5})}{4} = \frac{3+\sqrt{5}}{2}$

$\sqrt{4} < \sqrt{5} < \sqrt{9}$ より $2 < \sqrt{5} < 3$

$5 < 3+\sqrt{5} < 6$

$\frac{5}{2} < \frac{3+\sqrt{5}}{2} < \frac{6}{2}$

$2.5 < B < 3$

よって、$B$ の整数部分は $2$。

$B$ の小数部分 $p$ は $B - 2 = \frac{3+\sqrt{5}}{2} - 2 = \frac{3+\sqrt{5}-4}{2} = \frac{\sqrt{5}-1}{2}$

(3) $AB$ の小数部分 $q$ を求める。

$AB = (\sqrt{5}+1) \cdot \frac{3+\sqrt{5}}{2} = \frac{3\sqrt{5}+5+3+\sqrt{5}}{2} = \frac{4\sqrt{5}+8}{2} = 2\sqrt{5}+4$

$\sqrt{4} < \sqrt{5} < \sqrt{9}$ より $2 < \sqrt{5} < 3$

$4 < 2\sqrt{5} < 6$

$8 < 2\sqrt{5}+4 < 10$

よって、$AB$ の整数部分は $8$。

$AB$ の小数部分 $q$ は $2\sqrt{5}+4 - 8 = 2\sqrt{5}-4$

最後に、$2pq+4p+q+2$ の値を求める。

$2pq+4p+q+2 = 2p(q+2) + (q+2) = (2p+1)(q+2)$

$2p+1 = 2 \cdot \frac{\sqrt{5}-1}{2} + 1 = \sqrt{5}-1+1 = \sqrt{5}$

$q+2 = 2\sqrt{5}-4+2 = 2\sqrt{5}-2$

$(2p+1)(q+2) = \sqrt{5}(2\sqrt{5}-2) = 10 - 2\sqrt{5}$

3. 最終的な答え

(1) $A = \sqrt{5}+1$

(2) $B$ の整数部分: 2, $B$ の小数部分: $\frac{\sqrt{5}-1}{2}$

(3) $10-2\sqrt{5}$