第2項が-8、第5項が1である等比数列の初項から第10項までの和を求めよ。

1. 問題の内容

第2項が-8、第5項が1である等比数列の初項から第10項までの和を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、等比数列の一般項を $a_n = ar^{n-1}$ とします。ここで、$a$は初項、$r$は公比、$n$は項の番号です。

問題文より、第2項が-8、第5項が1なので、以下の式が成り立ちます。

$a_2 = ar = -8$

$a_5 = ar^4 = 1$

これらの式から、$a$と$r$を求めます。

$ar^4 = 1$を$ar = -8$で割ると、

$\frac{ar^4}{ar} = \frac{1}{-8}$

$r^3 = -\frac{1}{8}$

$r = -\frac{1}{2}$

次に、$r = -\frac{1}{2}$を$ar = -8$に代入して$a$を求めます。

$a(-\frac{1}{2}) = -8$

$a = 16$

したがって、初項$a = 16$、公比$r = -\frac{1}{2}$です。

等比数列の和の公式は、

$S_n = \frac{a(1-r^n)}{1-r}$

です。ここで、$S_n$は初項から第$n$項までの和です。

今回は、初項から第10項までの和を求めるので、$n=10$です。

$S_{10} = \frac{16(1-(-\frac{1}{2})^{10})}{1-(-\frac{1}{2})}$

$S_{10} = \frac{16(1-\frac{1}{1024})}{\frac{3}{2}}$

$S_{10} = \frac{16(\frac{1023}{1024})}{\frac{3}{2}}$

$S_{10} = \frac{16 \cdot 1023}{1024} \cdot \frac{2}{3}$

$S_{10} = \frac{32 \cdot 1023}{3 \cdot 1024}$

$S_{10} = \frac{32736}{3072}$

$S_{10} = \frac{1023}{96}$

$S_{10} = \frac{341}{32}$

3. 最終的な答え

$\frac{341}{32}$