次の等式が $x$ についての恒等式となるように、定数 $a, b, c$ の値を求めます。 $ax(x+1) + bx(x-1) + c(x+1)(x-1) = 4x^2 + x + 1$

1. 問題の内容

次の等式が $x$ についての恒等式となるように、定数 $a, b, c$ の値を求めます。

$ax(x+1) + bx(x-1) + c(x+1)(x-1) = 4x^2 + x + 1$

2. 解き方の手順

与えられた等式の左辺を展開し、整理します。

$ax(x+1) + bx(x-1) + c(x+1)(x-1) = ax^2 + ax + bx^2 - bx + c(x^2 - 1) = ax^2 + ax + bx^2 - bx + cx^2 - c = (a+b+c)x^2 + (a-b)x - c$

これが $4x^2 + x + 1$ と恒等的に等しいので、各項の係数を比較します。

$x^2$ の係数を比較すると、

$a+b+c = 4$

$x$ の係数を比較すると、

$a-b = 1$

定数項を比較すると、

$-c = 1$

よって、$c = -1$

これを $a+b+c = 4$ に代入すると、

$a+b-1 = 4$

$a+b = 5$

$a-b = 1$ と $a+b = 5$ の連立方程式を解きます。

2つの式を足すと、

$2a = 6$

$a = 3$

$a-b = 1$ に $a=3$ を代入すると、

$3-b = 1$

$b = 2$

3. 最終的な答え

$a = 3, b = 2, c = -1$