2次方程式 $x^2 - 3x - (k+1)(k-2) = 0$ の2つの解がともに3より小さくなるような定数 $k$ の値の範囲を求める問題です。

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 - 3x - (k+1)(k-2) = 0$ の2つの解がともに3より小さくなるような定数 $k$ の値の範囲を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$f(x) = x^2 - 3x - (k+1)(k-2)$ とおきます。

2つの解を $\alpha, \beta$ とすると、$\alpha < 3$ かつ $\beta < 3$ となる条件を求めます。

解と係数の関係より、$\alpha + \beta = 3$ であるため、２つの解は実数解を持つ必要があります。

したがって、判別式 $D \ge 0$ が必要です。

$D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot [-(k+1)(k-2)] = 9 + 4(k^2 - k - 2) = 9 + 4k^2 - 4k - 8 = 4k^2 - 4k + 1 = (2k-1)^2 \ge 0$

これは常に成り立ちます。

次に、2つの解がともに3より小さい条件を考えます。

これは、以下の３つの条件が成り立つときに満たされます。

1. $f(3) > 0$

2. 軸の位置 $< 3$

3. 判別式 $D \ge 0$ (実数解を持つ条件。これは常に満たされる)

まず、$f(3)$ を計算します。

$f(3) = 3^2 - 3(3) - (k+1)(k-2) = 9 - 9 - (k^2 - k - 2) = -k^2 + k + 2 > 0$

$k^2 - k - 2 < 0$

$(k-2)(k+1) < 0$

$-1 < k < 2$

次に、軸の位置を計算します。

軸の位置は $x = \frac{-(-3)}{2(1)} = \frac{3}{2} < 3$ であり、これは常に満たされます。

したがって、$f(3) > 0$ から、$-1 < k < 2$ が得られます。

3. 最終的な答え

$-1 < k < 2$