与えられた連立不等式を解き、$x$ の範囲を求めます。連立不等式は以下の通りです。 $\begin{cases} 3x + 1 \ge 7x - 5 \\ -x + 6 < 3(1 - 2x) \end{cases}$

1. 問題の内容

与えられた連立不等式を解き、$x$ の範囲を求めます。連立不等式は以下の通りです。

$\begin{cases} 3x + 1 \ge 7x - 5 \\ -x + 6 < 3(1 - 2x) \end{cases}$

2. 解き方の手順

まず、一つ目の不等式を解きます。

$3x + 1 \ge 7x - 5$

両辺から $3x$ を引くと、

$1 \ge 4x - 5$

両辺に $5$ を加えると、

$6 \ge 4x$

両辺を $4$ で割ると、

$\frac{6}{4} \ge x$

$x \le \frac{3}{2}$

次に、二つ目の不等式を解きます。

$-x + 6 < 3(1 - 2x)$

右辺を展開すると、

$-x + 6 < 3 - 6x$

両辺に $6x$ を加えると、

$5x + 6 < 3$

両辺から $6$ を引くと、

$5x < -3$

両辺を $5$ で割ると、

$x < -\frac{3}{5}$

したがって、$x \le \frac{3}{2}$ と $x < -\frac{3}{5}$ の共通範囲を求めます。

数直線で考えると、$x < -\frac{3}{5}$ は $x \le \frac{3}{2}$ の範囲に含まれるため、$x < -\frac{3}{5}$ が解となります。

3. 最終的な答え

$x < -\frac{3}{5}$