与えられた式 $(x+y+z)(x-y+z)(x+y-z)(x-y-z)$ を展開し、簡略化せよ。

1. 問題の内容

与えられた式 $(x+y+z)(x-y+z)(x+y-z)(x-y-z)$ を展開し、簡略化せよ。

2. 解き方の手順

まず、$(x+y+z)(x-y+z)$ を計算します。

これは、$(x+z+y)(x+z-y)$と書き換えることができます。

和と差の積の公式 $(A+B)(A-B) = A^2 - B^2$ を用いると、

$(x+z+y)(x+z-y) = (x+z)^2 - y^2$

$= x^2 + 2xz + z^2 - y^2$

次に、$(x+y-z)(x-y-z)$ を計算します。

これは、$(x-z+y)(x-z-y)$ と書き換えることができます。

和と差の積の公式 $(A+B)(A-B) = A^2 - B^2$ を用いると、

$(x-z+y)(x-z-y) = (x-z)^2 - y^2$

$= x^2 - 2xz + z^2 - y^2$

したがって、与えられた式は

$(x^2 + 2xz + z^2 - y^2)(x^2 - 2xz + z^2 - y^2)$ となります。

これを、$(x^2 + z^2 - y^2 + 2xz)(x^2 + z^2 - y^2 - 2xz)$ と書き換えます。

ここで再び、和と差の積の公式 $(A+B)(A-B) = A^2 - B^2$ を用いると、

$(x^2 + z^2 - y^2 + 2xz)(x^2 + z^2 - y^2 - 2xz) = (x^2 + z^2 - y^2)^2 - (2xz)^2$

$= (x^2 + z^2 - y^2)^2 - 4x^2z^2$

ここで、$(x^2 + z^2 - y^2)^2 = (x^2 + (z^2 - y^2))^2$

$= (x^2)^2 + 2x^2(z^2 - y^2) + (z^2 - y^2)^2$

$= x^4 + 2x^2z^2 - 2x^2y^2 + z^4 - 2z^2y^2 + y^4$

したがって、$(x^2 + z^2 - y^2)^2 - 4x^2z^2 = x^4 + 2x^2z^2 - 2x^2y^2 + z^4 - 2z^2y^2 + y^4 - 4x^2z^2$

$= x^4 + y^4 + z^4 - 2x^2y^2 - 2y^2z^2 - 2z^2x^2$

$= x^4 + y^4 + z^4 - 2x^2y^2 - 2y^2z^2 + 2x^2z^2 - 4x^2z^2$

$= x^4 + y^4 + z^4 - 2x^2y^2 - 2y^2z^2 - 2z^2x^2$

3. 最終的な答え

$x^4 + y^4 + z^4 - 2x^2y^2 - 2y^2z^2 - 2z^2x^2$