(5) 2次方程式 $x^2 + 2kx + k + 1 = 0$ が重解を持つときの定数 $k$ の値と、そのときの重解を求める問題。 (6) 放物線 $y = -x^2 + 3x - 1$ が直線 $y = 2x + k$ と接するときの定数 $k$ の値と、そのときの接点の座標を求める問題。

1. 問題の内容

(5) 2次方程式 $x^2 + 2kx + k + 1 = 0$ が重解を持つときの定数 $k$ の値と、そのときの重解を求める問題。

(6) 放物線 $y = -x^2 + 3x - 1$ が直線 $y = 2x + k$ と接するときの定数 $k$ の値と、そのときの接点の座標を求める問題。

2. 解き方の手順

(5)

2次方程式 $ax^2 + bx + c = 0$ が重解を持つ条件は、判別式 $D = b^2 - 4ac = 0$ である。

この問題では、$a = 1$, $b = 2k$, $c = k+1$ なので、判別式は

$D = (2k)^2 - 4(1)(k+1) = 4k^2 - 4k - 4 = 0$

両辺を4で割って、$k^2 - k - 1 = 0$

解の公式より、$k = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4(1)(-1)}}{2(1)} = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$

重解は $x = \frac{-b}{2a} = \frac{-2k}{2} = -k$

したがって、

$k = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ のとき、$x = -\frac{1 + \sqrt{5}}{2}$

$k = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$ のとき、$x = -\frac{1 - \sqrt{5}}{2}$

(6)

放物線 $y = -x^2 + 3x - 1$ と直線 $y = 2x + k$ が接するということは、連立方程式

$-x^2 + 3x - 1 = 2x + k$

が重解を持つということである。

移項して、$x^2 - x + (k + 1) = 0$

判別式 $D = (-1)^2 - 4(1)(k+1) = 1 - 4k - 4 = -4k - 3 = 0$

よって、$k = -\frac{3}{4}$

このとき、$x^2 - x + ( -\frac{3}{4} + 1) = x^2 - x + \frac{1}{4} = 0$

$(x - \frac{1}{2})^2 = 0$

$x = \frac{1}{2}$

$y = 2(\frac{1}{2}) - \frac{3}{4} = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$

接点の座標は$(\frac{1}{2}, \frac{1}{4})$

3. 最終的な答え

(5)

$k = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ のとき、$x = -\frac{1 + \sqrt{5}}{2}$

$k = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$ のとき、$x = -\frac{1 - \sqrt{5}}{2}$

(6)

$k = -\frac{3}{4}$

接点の座標は$(\frac{1}{2}, \frac{1}{4})$