$k = 0$ のとき、方程式は $-x - 2 = 0$ となり、$x = -2$ という唯一の解を持つ。したがって、異なる実数解は1つ。

## 問題の解説

(7) 実数 $k$ を定数とする。 $x$ の方程式 $kx^2 - x - 2 = 0$ の異なる実数解の個数を、$k$ の値によって場合分けする。

(8) 実数 $k$ を定数とする。 $x$ の2次方程式 $x^2 - 6x + k + 2 = 0$ が、1より大きい異なる解をいくつ持つか、$k$ の値によって場合分けする。

## 解き方の手順

### (7)

1. $k = 0$ の場合：

$k = 0$ のとき、方程式は $-x - 2 = 0$ となり、$x = -2$ という唯一の解を持つ。したがって、異なる実数解は1つ。

2. $k \ne 0$ の場合：

$kx^2 - x - 2 = 0$ は二次方程式となる。判別式 $D$ を計算する。

$D = (-1)^2 - 4(k)(-2) = 1 + 8k$

(a) $D > 0$ のとき： $1 + 8k > 0$ より、$k > -\frac{1}{8}$。このとき、異なる2つの実数解を持つ。ただし、$k \ne 0$ であるから、$k > -\frac{1}{8}$ かつ $k \ne 0$。

(b) $D = 0$ のとき： $1 + 8k = 0$ より、$k = -\frac{1}{8}$。このとき、重解（実数解は1つ）を持つ。

(c) $D < 0$ のとき： $1 + 8k < 0$ より、$k < -\frac{1}{8}$。このとき、実数解を持たない。

### (8)

1. 二次方程式 $x^2 - 6x + k + 2 = 0$ の判別式 $D$ を計算する。

$D = (-6)^2 - 4(1)(k + 2) = 36 - 4k - 8 = 28 - 4k$

異なる2つの実数解を持つための条件は $D > 0$ である。

$28 - 4k > 0$

$4k < 28$

$k < 7$

2. 解の公式より、この2次方程式の解は

$x = \frac{-(-6) \pm \sqrt{28 - 4k}}{2(1)} = \frac{6 \pm \sqrt{28 - 4k}}{2} = 3 \pm \sqrt{7 - k}$

3. 2つの解が共に1より大きいという条件を考える。

$x_1 = 3 + \sqrt{7 - k} > 1$

$\sqrt{7 - k} > -2$

これは、$7 - k \ge 0$ すなわち $k \le 7$ のとき常に成り立つ。

$x_2 = 3 - \sqrt{7 - k} > 1$

$2 > \sqrt{7 - k}$

$4 > 7 - k$

$k > 3$

4. したがって、$3 < k < 7$ のとき、2つの異なる解はどちらも1より大きい。

また、判別式がゼロになるときは、重解を持つので、

$k = 7$ のとき、解は $x = 3$ となり、これは1より大きい。しかし、問題文は「異なる解」を持つ場合を問うているので、$k = 7$ は条件を満たさない。

## 最終的な答え

(7)

* $k < -\frac{1}{8}$ のとき、実数解なし。

* $k = -\frac{1}{8}$ のとき、実数解は1つ。

* $k = 0$ のとき、実数解は1つ。

* $k > -\frac{1}{8}$ かつ $k \ne 0$ のとき、異なる実数解は2つ。

(8)

* $3 < k < 7$ のとき、1より大きい異なる解を2つ持つ。

* $k = 7$ のとき、1より大きい解を1つ持つ（重解）。

* $k \le 3$ または $k \ge 7$ のとき、1より大きい異なる解を持たない。