$a$ を実数の定数として、$x$ に関する次の3つの不等式が与えられています。 (1) $\frac{x+1}{3} \le \frac{2x+1}{2} + \frac{7}{6}$ (2) $\sqrt{3}(3-x) \le 3-x$ (3) $a(x+a-5) \le 4(x-1)$ これらの不等式について、いくつかの問いに答えます。

1. 問題の内容

$a$ を実数の定数として、$x$ に関する次の3つの不等式が与えられています。

(1) $\frac{x+1}{3} \le \frac{2x+1}{2} + \frac{7}{6}$

(2) $\sqrt{3}(3-x) \le 3-x$

(3) $a(x+a-5) \le 4(x-1)$

これらの不等式について、いくつかの問いに答えます。

2. 解き方の手順

(1) 不等式(1)を解きます。

$\frac{x+1}{3} \le \frac{2x+1}{2} + \frac{7}{6}$

両辺に6を掛けると、

$2(x+1) \le 3(2x+1) + 7$

$2x+2 \le 6x+3+7$

$2x+2 \le 6x+10$

$-8 \le 4x$

$-2 \le x$

したがって、$x \ge -2$ です。

不等式(2)を解きます。

$\sqrt{3}(3-x) \le 3-x$

$(3-x) - \sqrt{3}(3-x) \ge 0$

$(3-x)(1-\sqrt{3}) \ge 0$

$3-x \le 0$ (∵ $1-\sqrt{3}<0$)

$x \ge 3$

不等式(1), (2)のいずれも成り立たない $x$ の範囲は、

$x < -2$ かつ $x < 3$ より、$x < -2$ と $x \ge 3$ の間の値です。よって、$-2 > x \ge 3$ となりますが、そのような $x$ は存在しません。したがって、$-2>x \ge 3$の範囲は存在しないので、$x<-2$と$x<3$の否定は、$x \ge -2$または$x \ge 3$となり、不等式(1)または(2)のいずれかが成り立つxの範囲は、$x \ge -2$または$x \ge 3$となります。いずれも成り立たない$x$の値の範囲は、$x < -2$かつ$x < 3$なので、$x < -2$と$x \ge 3$の間にあるような$x$の値ということになります。したがって、$x<-2$と$3 \le x$の間にあるようなxの値は存在しません。したがって、不等式(1)の解は$x \ge -2$なので、アイは-2です。また、不等式(1)の解は$x \ge -2$であり、不等式(2)の解は$x \ge 3$なので、いずれも成り立たないようなxの値の範囲は、$x<-2$と$x<3$の間になります。よって、$x<-2$なので、ウエは-2、オは3です。

(2) $a=5$のとき、不等式(3)は

$5(x+5-5) \le 4(x-1)$

$5x \le 4x-4$

$x \le -4$

$a=4$のとき、不等式(3)は

$4(x+4-5) \le 4(x-1)$

$4(x-1) \le 4(x-1)$

$4x-4 \le 4x-4$

$0 \le 0$

これはすべての実数 $x$ に対して成り立ちます。

(3) すべての実数 $x$ に対して不等式(1), (2), (3) のいずれかが成り立つような $a$ の値の範囲を求めます。不等式(1)の解は $x \ge -2$、不等式(2)の解は $x \ge 3$ でした。

不等式(3)の解を考える。

$ax+a^2-5a \le 4x-4$

$(a-4)x \le -a^2+5a-4$

$(a-4)x \le -(a-1)(a-4)$

$a-4 > 0$, つまり $a>4$ のとき、 $x \le -(a-1) = 1-a$。

$a-4 < 0$, つまり $a<4$ のとき、 $x \ge 1-a$。

$a=4$のとき、不等式(3)はすべての$x$に対して成立します。

したがって、$a>4$のとき、$x \le 1-a$。$1-a < -2$ となるような $a$ の範囲は、$1-a < -2 \implies a > 3$。よって、$a>4$の範囲では、常に不等式(1)が成り立つので、不等式(3)が$x \ge -2$で成り立つ必要はありません。

$a<4$のとき、$x \ge 1-a$。$1-a \ge 3$となるような $a$ の範囲は、$1-a \ge 3 \implies a \le -2$。よって、$a \le -2$のとき、常に不等式(2)が成り立つので、不等式(3)が$x \ge 3$で成り立つ必要はありません。

$a=4$のとき、不等式(3)はすべての$x$に対して成り立つ。$a \le 4$となるような$a$の値の範囲を求める。

3. 最終的な答え

(1) アイ：-2, ウエ：-2, オ：3

(2) カキ：-4, ク：③

(3) ケ：-2, コ：4