関数 $y = ax + b$ ($-1 \le x \le 2$) の値域が $-3 \le y \le 3$ であるように、定数 $a$, $b$ の値を定める。

1. 問題の内容

関数 $y = ax + b$ ($-1 \le x \le 2$) の値域が $-3 \le y \le 3$ であるように、定数 $a$, $b$ の値を定める。

2. 解き方の手順

まず、$a$ の符号で場合分けをする。

(i) $a > 0$ のとき、関数 $y = ax + b$ は単調増加である。したがって、$x = -1$ のとき最小値 $y = -3$ をとり、$x = 2$ のとき最大値 $y = 3$ をとる。

よって、

$$-a + b = -3$$

$$2a + b = 3$$

2式の差をとると、

$$3a = 6$$

$$a = 2$$

これを最初の式に代入して、

$$-2 + b = -3$$

$$b = -1$$

これは、$a > 0$ を満たす。

(ii) $a < 0$ のとき、関数 $y = ax + b$ は単調減少である。したがって、$x = -1$ のとき最大値 $y = 3$ をとり、$x = 2$ のとき最小値 $y = -3$ をとる。

よって、

$$-a + b = 3$$

$$2a + b = -3$$

2式の差をとると、

$$-3a = 6$$

$$a = -2$$

これを最初の式に代入して、

$$2 + b = 3$$

$$b = 1$$

これは、$a < 0$ を満たす。

(iii) $a = 0$ のとき、関数 $y = b$ となり、$y$ は常に $b$ に等しい。値域が $-3 \le y \le 3$ であるためには、$b = 3$ かつ $b = -3$ が必要になるが、これは不可能である。したがって、$a=0$ は条件を満たさない。

3. 最終的な答え

したがって、

$$(a, b) = (2, -1), (-2, 1)$$

となる。